矩陣理論及其應用

目   錄

第1章  矩陣理論基礎   1

1.1  向量與矩陣   1

1.1.1  基本概念   1

1.1.2  矩陣的基本運算   2

1.2  矩陣的初等變換與初等矩陣   5

1.2.1  矩陣的初等變換   5

1.2.2  初等矩陣   5

1.3  行階梯形矩陣、行最簡形矩陣   7

1.3.1  行階梯形矩陣   7

1.3.2  行最簡形矩陣   7

1.4  矩陣的行列式、特征值、跡和秩   8

1.4.1  矩陣的行列式   8

1.4.2  矩陣的特征值與特征向量   9

1.4.3  矩陣的跡   10

1.4.4  矩陣的秩   10

1.5  矩陣的二次型   12

1.5.1  二次型的定義   12

1.5.2  二次型的正定性   12

1.6  相似對角化   12

1.7  Python實現   13

習題1   16

第2章  矩陣的標準形   18

2.1  Jordan 標準形的定義   18

2.2  Jordan 標準形的計算   19

2.2.1  Jordan 標準形的特征向量法   19

2.2.2  矩陣及其Smith 標準形   19

2.2.3  Jordan標準形的初等變換法   20

2.2.4  Jordan標準形的行列式因子法   22

2.3  Jordan塊的冪運算   24

2.4  最小多項式   25

2.5  Python實現   29

2.6  應用案例：人口遷移   30

習題2   32

第3章  線性空間   34

3.1  數域與映射   34

3.1.1  數域   34

3.1.2  映射   35

3.2  線性空間的定義   35

3.3  基、維數與坐標   37

3.4  線性子空間   42

3.4.1  子空間的定義   42

3.4.2  子空間的交與和   43

3.4.3  子空間的直和   46

3.5  Python 實現   47

習題3   48

第4章  內積與範數   50

4.1  內積   50

4.1.1  內積與歐氏空間   50

4.1.2  標準正交基與Schmidt正交化方法   54

4.2  酉空間簡介   57

4.3  向量範數   58

4.3.1  向量範數的定義    58

4.3.2  向量範數的等價性    61

4.3.3  向量序列的收斂性    62

4.4  矩陣範數   62

4.4.1  方陣的範數   63

4.4.2  向量範數與矩陣範數的關系   64

4.4.3  長方陣的範數   66

4.5  條件數   67

4.6   Python實現   68

4.7  應用案例   70

4.7.1  數據擬合   70

4.7.2  基於監控視頻的前景目標提取   71

4.7.3  人臉識別的稀疏表示   72

習題4   74

第5章  線性變換   78

5.1  線性變換的定義與性質   78

5.1.1  線性變換的定義   78

5.1.2  線性變換的性質   79

5.2  線性變換的運算   79

5.2.1  線性變換的四則運算   79

5.2.2  線性變換的值域與核   81

5.2.3  線性變換與矩陣   82

5.2.4  線性變換的特征值與特征向量   86

5.3  正交變換   87

5.3.1  正交變換的定義與性質   87

5.3.2  Givens 變換   89

5.3.3  Householder 變換   91

5.4  對稱變換   92

5.5  Python 實現   93

5.6  應用案例：電路轉移矩陣   96

習題 5   98

第6章  矩陣分解   100

6.1  矩陣的LU 分解   100

6.1.1  LU分解及存在唯一性定理   100

6.1.2  Doolittle 分解的緊湊格式算法   101

6.1.3  對稱矩陣的三角分解   102

6.2  矩陣的 QR 分解    102

6.3  矩陣的滿秩分解   105

6.4  矩陣的奇異值分解   106

6.4.1  奇異值的定義與性質   106

6.4.2  奇異值分解的計算   107

6.4.3  奇異值的幾何意義   109

6.5  Python 實現   111

6.6  應用案例：奇異值分解在圖像處理中的應用   115

習題6   118

第7章  矩陣分析   120

7.1  矩陣級數   120

7.1.1  矩陣序列的極限   120

7.1.2  矩陣級數的定義   122

7.1.3  矩陣冪級數   123

7.2  函數矩陣   124

7.3  矩陣函數   125

7.3.1  矩陣函數的定義   125

7.3.2  矩陣函數的計算   126

7.3.3  常用矩陣函數的性質   130

7.4  矩陣函數求導   131

7.4.1  函數概念的推廣   131

7.4.2  自變量為標量的函數求導   131

7.4.3  函數值為標量的函數求導   132

7.4.4  求導布局   134

7.4.5  矩陣值函數對矩陣求導   136

7.5  矩陣函數求導的鏈式法則   137

7.5.1  向量函數對向量變量求導   137

7.5.2   標量函數對向量變量求導   137

7.5.3  標量函數對矩陣變量求導   138

7.6  一階線性常系數微分方程組   138

7.6.1  一階線性常系數齊次微分方程組   139

7.6.2  一階線性常系數非齊次微分方程組   140

7.6.3  Lyapunov 方程   142

7.7  Python 實現    143

7.8  應用案例: 蟲子爬行軌跡   143

習題7   147

第8章  矩陣的廣義逆   149

8.1  廣義逆的定義   149

8.2  廣義逆 A?   150

8.3  廣義逆 A+    153

8.4  最小二乘問題   156

8.4.1  最小二乘解   156

8.4.2  極小範數解與極小範數最小二乘解   158

8.5  Python實現   159

8.6  應用案例   160

8.6.1  多元線性回歸分析   160

8.6.2  功率放大器非線性特性及預失真建模   164

習題8   168

第9章  矩陣的Kronecker積與Hadamard 積   170

9.1  Kronecker積   170

9.1.1  Kronecker積的定義   170

9.1.2  Kronecker積的性質    171

9.2  Hadamard 積   176

9.2.1  Hadamard 積的定義   176

9.2.2  Hadamard 積的性質   176

9.3  向量化與矩陣化   178

9.4  線性矩陣方程    180

9.5  Python實現   183

9.6  應用案例   185

9.6.1  基於Kronecker積的分形圖案設計   185

9.6.2  基於Kronecker積的圖像放大   187

習題9   188

第10章  特殊矩陣   190

10.1  非負矩陣   190

10.1.1  非負矩陣的定義與性質   190

10.1.2  正矩陣   193

10.1.3  不可約非負矩陣   198

10.1.4  本原矩陣   201

10.1.5  隨機矩陣   202

10.2  協方差矩陣與相關矩陣   204

10.3  Hadamard矩陣   207

10.4  Vandermonde矩陣與Fourier矩陣   208

10.4.1  Vandermonde矩陣   209

10.4.2  Fourier矩陣   211

10.5  Python實現   212

10.6  應用案例：隨機矩陣在Markov鏈中的應用   214

習題10   215

第11章  張量分析   217

11.1  張量的概念及其表示   217

11.2  張量的矩陣化和向量化   220

11.2.1  張量的矩陣化   220

11.2.2  張量的向量化   221

11.3  張量的基本代數運算   222

11.3.1  張量的加法和標量乘法   222

11.3.2  張量的外積   222

11.3.3  張量乘法：$n$-模式積   223

11.3.4  張量的內積與範數   225

11.3.5  張量的秩   226

11.4  張量分解   228

11.4.1   CANDECOMP/PARAFAC（CP）分解   228

11.4.2  Tucker 分解   231

11.5  Python實現   235

11.5.1  張量的創建與初始化   235

11.5.2  張量的矩陣化和向量化   236

11.5.3  張量的基本代數運算   237

11.5.4  張量分解   240

11.6  應用案例：Tucker分解在圖像去噪中的應用   241

習題11   244

習題解答或提示   245

參考文獻   252