馬同學圖解線性代數

第1章 向量空間及其性質 1
1.1 向量 2
1.1.1 有向線段 2
1.1.2 向量的定義 3
1.1.3 零向量 5
1.1.4 長度和方向 6
1.2 向量的加法和數乘 6
1.2.1 向量的加法 6
1.2.2 向量的數乘 10
1.2.3 基本運算法則 11
1.3 線性組合與線性相關 12
1.3.1 混合顏色 13
1.3.2 線性組合 15
1.3.3 線性相關和線性無關 17
1.3.4 線性相關和線性無關的例題 18
1.3.5 升維與降維 20
1.4 向量空間 21
1.4.1 宇宙空間和向量空間 22
1.4.2 向量空間的嚴格定義 23
1.4.3 特殊向量空間 24
1.4.4 子空間 25
1.5 張成空間 26
1.5.1 等價向量組 28
1.5.2 幾何意義 31
1.5.3 最大無關組 33
1.5.4 向量組的秩 34
1.6 向量空間的基 35
1.6.1 基的定義 36
1.6.2 基與坐標 38
1.6.3 坐標系 40
1.6.4 向量空間的維度 42
1.7 數量積（點積） 43
1.7.1 歐氏幾何 43
1.7.2 長度和角度 44
1.7.3 新的運算 47
1.7.4 點積的性質 48
1.7.5 餘弦相似性 50

第2章 矩陣和矩陣乘法 53
2.1 矩陣和線性方程組 53
2.1.1 電視轉播與線性方程組 53
2.1.2 線性方程組 55
2.1.3 矩陣的出現 56
2.1.4 矩陣標記法與解線性方程組 58
2.1.5 矩陣乘法 59
2.1.6 矩陣的結合 62
2.1.7 彩色電視機的計算 63
2.2 高斯消元法 64
2.2.1 高斯消元法的思想 64
2.2.2 特殊矩陣 69
2.2.3 初等行變換與初等行矩陣 72
2.3 矩陣的加法與乘法 75
2.3.1 矩陣加法 75
2.3.2 矩陣數乘 76
2.3.3 矩陣乘法的合法性 77
2.3.4 矩陣乘法的行觀點 77
2.3.5 矩陣乘法的列觀點 78
2.3.6 矩陣乘法的點積觀點 79
2.3.7 矩陣乘法的性質 80
2.4 矩陣的冪運算與轉置 81
2.4.1 冪運算 81
2.4.2 矩陣的轉置 83
2.4.3 對稱陣與反對稱陣 85
2.5 矩陣乘法的幾何意義 86
2.5.1 矩陣的左乘和右乘 86
2.5.2 矩陣的乘法 89
2.5.3 總結 91

第3章 矩陣函數及其幾何意義 92
3.1 矩陣函數與線性函數 92
3.1.1 函數 92
3.1.2 矩陣函數 94
3.1.3 矩陣是線性函數 95
3.2 旋轉矩陣函數 98
3.2.1 旋轉矩陣的左乘 98
3.2.2 旋轉橢圓 99
3.3 常用的矩陣函數 100
3.3.1 單位陣 101
3.3.2 鏡像矩陣 102
3.3.3 伸縮矩陣 102
3.3.4 剪切矩陣 103
3.4 矩陣函數的性質 104
3.4.1 矩陣函數的交換律 104
3.4.2 矩陣函數的結合律 105

第4章 矩陣的秩的定義及意義 107
4.1 矩陣的秩 107
4.1.1 列空間 107
4.1.2 行空間 109
4.1.3 行秩、列秩、矩陣的秩 110
4.2 矩陣函數的四要素 111
4.2.1 定義域 112
4.2.2 映射法則 113
4.2.3 值域 115
4.2.4 到達域 115
4.2.5 矩陣函數 116
4.3 矩陣函數的值域 117
4.3.1 值域與列空間 117
4.3.2 值域與矩陣的秩 119
4.3.3 矩陣的秩的性質 121
4.4 矩陣函數的單射 124
4.5 矩陣函數的滿射 131
4.6 矩陣函數的雙射 133
4.7 逆矩陣 134
4.7.1 逆矩陣的存在性 134
4.7.2 逆矩陣的定義 135
4.7.3 初等行矩陣求逆矩陣 137
4.7.4 高斯若爾當求逆矩陣 137
4.7.5 逆矩陣的性質 138
4.8 初等變換求秩 139
4.8.1 初等行變換求秩 139
4.8.2 初等列變換與標準形 142
4.9 分塊矩陣 143
4.9.1 分塊矩陣的定義 143
4.9.2 分塊矩陣的運算規則 144
4.9.3 分塊對角矩陣 146
4.9.4 分塊矩陣的轉置 148
4.9.5 西爾維斯特不等式 148

第5章 線性方程組的解 150
5.1 解的存在性 150
5.2 解的個數 154
5.2.1 解的個數的矩陣觀點 155
5.2.2 滿秩矩陣有唯一解 156
5.3 解集 157
5.3.1 齊次線性方程組的解集 157
5.3.2 非齊次線性方程組的解 161
5.3.3 解集的結構 164
5.4 秩零定理 166
5.4.1 二維中的例子 166
5.4.2 三維中的例子 167
5.4.3 秩零定理的嚴格形式 169

第6章 行列式 170
6.1 行列式的來歷 170
6.1.1 二階行列式 171
6.1.2 三階行列式 172
6.1.3 克拉默法則 174
6.1.4 全排列與逆序數 176
6.1.5 行列式的定義 178
6.2 二階行列式 179
6.2.1 伸縮比例 179
6.2.2 原理 182
6.2.3 總結 186
6.3 向量積 187
6.3.1 三維空間中的有向面積 187
6.3.2 向量積的方向 188
6.3.3 求解三維空間中的有向面積 190
6.4 三階行列式 195
6.4.1 有向體積 195
6.4.2 有向體積之比 196
6.4.3 總結 200
6.5 子式和餘子式 200
6.5.1 子式 201
6.5.2 餘子式 202
6.5.3 代數餘子式 203
6.5.4 總結 204
6.6 行列式的性質 204
6.6.1 轉置行列式 204
6.6.2 滿秩、可逆與行列式 205
6.6.3 行列式的數乘 206
6.6.4 行（列）互換 207
6.6.5 行列式的倍加 208
6.6.6 行列式的加法 210
6.6.7 行列式的乘法 211
6.6.8 三角行列式的計算法 212
6.6.9 三角分塊行列式的計算法 213
6.6.10 拉普拉斯展開 214
6.6.11 拉普拉斯展開的推論 217
6.7 克拉默法則 218
6.8 行列式的應用 221
6.8.1 範德蒙行列式 221
6.8.2 伴隨矩陣與逆矩陣 224
6.8.3 伴隨矩陣的秩 225

第7章 相似矩陣 227
7.1 函數的坐標系 227
7.1.1 日心說與地心說 227
7.1.2 阿基米德螺線 228
7.1.3 亮度調整 229
7.2 基變換 230
7.2.1 各種基變換的例題 230
7.2.2 過渡矩陣和基變換公式 235
7.3 坐標變換 237
7.3.1 坐標變換公式 237
7.3.2 矩陣函數和坐標變換 241
7.4 相似矩陣 242
7.4.1 相似矩陣的定義 243
7.4.2 相似矩陣的性質 247
7.4.3 亮度的調整 249

第8章 特徵向量與對角化 252
8.1 特徵值與特徵向量 252
8.1.1 特徵值與特徵向量的定義 253
8.1.2 特徵空間與特徵方程 254
8.1.3 互異特徵值對應的特徵向量 260
8.2 對角化 261
8.3 再談特徵值與特徵向量 265
8.4 正交矩陣 268
8.4.1 正交基 269
8.4.2 正交矩陣的定義 271
8.5 施密特正交化 273
8.5.1 二維空間的正交基 274
8.5.2 三維空間的正交基 276
8.5.3 施密特正交化的完整形式 279
8.6 正交對角化 279
8.6.1 整體的思路 280
8.6.2 實對稱陣 281
8.6.3 完整的解題過程 282
8.6.4 正交對角化的定義 284
8.7 相似矩陣中的不變量 285
8.7.1 相似矩陣的特徵值相同 285
8.7.2 相似矩陣的行列式相同 288
8.7.3 相似矩陣的跡相同 290

第9章 二次型與合同矩陣 292
9.1 二次型 292
9.1.1 二次型的定義 292
9.1.2 從二次型到矩陣 293
9.2 合同矩陣 296
9.2.1 合同矩陣的定義 299
9.2.2 一點補充 299
9.3 合同對角化 300
9.3.1 正交合同對角化 300
9.3.2 拉格朗日配方法 303
9.4 慣性定理與正負定 309
9.4.1 慣性定理 309
9.4.2 正定與負定 311