圖解數學基礎入門 全新修訂版 数学のしくみ

作者簡介

川久保勝夫

　　1942年生於日本長野縣，東京大學理學院數學系畢。取得同大學的碩士學位後，曾任普林斯頓高等研究所研究員、紐約州立大學研究員、波昂大學客座教授以及赫爾辛基大學客座教授。目前為大阪大學理學院教授，理學博士，也是日本數理協會的理事兼評議員。

審訂者簡介

李盈嬌

　　台北市人，台灣大學數學研究所碩士

譯者簡介

高淑珍

　　輔仁大學日文系畢，曾任錦秀出版社日文編輯、舜恕編譯室日文譯者，自組「日文翻譯工作室」十多年，目前為多家出版社的特約譯者。

第1章 「數」的探索
「數」的故事
●數的架構
數的觀念從計算開始
●零的發現
代表什麼都沒有，卻具有重要的意義
●負數的功用
計算數目時少不了負數
●有理數的延伸
從加減乘除演算之數的觀念，延伸到有理數
●無理數的存在
有理數已得證，無理數的春天在哪裡？
●不可思議的虛數i
複數果真存在嗎？
●單純又神秘的質數
「質數」為數的原子
●專欄 每個數字都有不同的意義

第2章 釐清「數」的關係
「函數」的故事
●何謂函數？
飲料或車票自動販賣機也是一種函數的運用
●一目了然的座標圖
一次函數為直線、二次函數為拋物線、反比為雙曲數
●方程式的解題絕招
先建立方程式為解題的要訣
●採用聯立方程式的鶴龜算法
複雜的計算在於寫出方程式
●二次方程式的解題公式
以二次方程式的判別式判斷解答的性質
●三次方程式及解題秘密
數學史上最引人矚目的解法插曲
◎專欄 真的有方程式解法嗎？

第3章 幾何學之美與謎
「形狀」的故事
●幾何學大復活！
三角形的五心──重心、內心、外心、旁心、垂心
●形狀的確定
直線構成的圖形面積請用三角形求解
●形狀的排列
任何的正多角形磁磚的舖設問題
●圓周率的計算歷史
圓周率π的故事
●黃金矩形之美
二次方程式與黃金比例
●利用尺及圓規解題
希臘三大難題：倍立方體體積、角的三等份、圓的面積
●正多面積只有五個
「正多面積為無限」是錯誤觀念
●歐基里得幾何學
知名度僅次於聖經的《原理》是近代科學方法論的基礎
●非歐基里得幾何學
與歐基里得幾何學體系不同的幾何學
◎專欄 代數幾何學的研究

第4章 矩陣的運用
矩陣與向量的故事
●矩陣或向量的用途為何？
只有數字陳列的矩陣或向量具有深遠的意義
●向量的加法與減法
矩陣或向量按照計算規則發揮力量
●矩陣的乘法
矩陣或向量在乘法中更能發揮作用
●矩陣為一變換的機器
通過某個矩陣後向量變身為新風貌
●用矩陣解聯立方程式
只要利用反矩陣即可解開聯立方程式
●向量翱翔天空
透過許多力的向量合成可以飛行無礙
●經濟上中運用的矩陣！
馬可夫鏈可預測汽車的市場佔有率
●賽局理論運用於網球比賽
經濟或運動等競爭全都可藉為賽局理論求勝
◎專欄 未來的預測

第5章 數學之王微積分
微分與積分的故事
●重點是計算面積
積分的起源來自古埃及尼羅河的氾濫
●越切越小的圖形
阿基米德的構思開啟微積分學的大門
●積分的構思
利用極限思考算出曲線圖形的面積
●追求瞬間速度
千變萬化的速度唯有微分可以掌握
●微分再微分
追蹤函數曲線的最大線索是導函數
●微分不離積分
魔棒一揮，微分與積分緊緊相依
●函數f(x)和f’(x)
了解微積分基本定理，積分變簡單
●應用微積分
生活周遭都是微積分的應用實例
◎專欄 阿基里斯的比賽

第6章 偶然的科學
機率的故事
●與命運女神邂逅的方法
將「偶然」科學化的機率論起源自賭博
●擲6次必定會出現1次嗎？
機率的基本為大數法則──小心不要用錯
●排列與組合的觀念
在機率中計算場合的數量成為基數
●亂槍打鳥也會中？
「至少……」等機率問題，可運用餘事件解釋
●不太可靠的直覺
在40人的班級中生日相同者的機率為89%
●先抽先贏？
畫成機率的樹形圖，一清二楚
●紅球與白球的機率
製作圖表，一清二楚
●贏錢或輸錢的平均
運用期望值評估賭博，結果發現都是賠
●亂數具有的深刻意義
亂數無所不在
●統計的比較
平均與標準差
◎專欄 不了解機率的話連命都沒了

第7章 這麼想就對啦
指數‧對數和數列的故事
●天文學的數字計算
從微小世界到極大世界，都是指數函數的概括範圍
●天才數學家高斯的計算
等差數列之和的快速算法
●超乎想像空間的等比數列
多倍數的計算易如反掌
●生活周遭中的等比數列
銀行存款、貸款利息、音階世界等，都是等比數列
●對數世界十分有趣
對數和指數正好相反
●讓計算變簡單
煩人的複利計算，用對數就對了
●知覺其實是對數感覺
星星亮度等級、聲音強弱的分貝、地震的震度級數……
●自然界中的對數和指數
自然界中的指數或對數
◎專欄 不可思議的e=(ex)’=ex

第8章 和三角函數作朋友
三角函數的故事
●給畏懼三角函數的人
sin、cos、tan是好朋友三人組
●用棍子測量高度
泰利斯測量金字塔高度的方法
●跨越障礙的餘弦定理
碰上山或建築物無法直接測量時的距離算法
●正弦定理的測量妙方
神通廣大的三角測量
●電氣也是正弦的世界
若沒有三角函數就日夜不分了
●用途無限的三角函數
重現美妙音色的，正弦曲線的組合
●傅利葉轉換
DNA的雙重螺旋構造也可用傅利葉轉換解釋
◎專欄 神秘的Euler公式

第9章 數學展開新世界
新數學的故事
●形狀在空間中的變化
可以發現局部性和全面性差異的拓樸學
●誰在說謊？
動搖數學基礎的羅素詭論
●何謂不確定性理論？
一個人無法決定自己的價值
●模糊理論
地下鐵或NASA的太空梭都有關係
●天氣預報為何不準確？
模糊不清或無秩序的混沌現象經常可見
●何謂碎形圖形？
介於一維度與二維度之間的維度空間圖形
●破局的分析
破局理論將急遽變化加以規範
●電腦運用的數學
兩個數字組合即可表現邏輯
●集合與邏輯
集合理論與邏輯推論
●對稱之美
一切都源於哥羅亞的方程式解法
●「維度」另一章
三度、四度、五度……自由思考多維度空間
◎專欄 費瑪大定理的證明