AI 時代 Math 元年 - 用 Python 全精通數學要素

姜偉生

　　姜偉生，博士FRM。勤奮的小鎮做題家，熱愛知識可視化和開源分享。自2022年8月開始，在GitHub上開源「鳶尾花書」學習資源，截至2023年9月，已經分享4000多頁PDF、4000多幅矢量圖、約2000個代碼文件，全球讀者數以萬計。

1 萬物皆數

1.1 數字和運算：人類思想的偉大飛躍

1.2 數字分類：從複數到自然數

1.3 加減：最基本的數學運算

1.4 向量：數字排成行、列

1.5 矩陣：數字排列成長方形

1.6 矩陣： 一組列向量，或一組行向量

1.7 矩陣形狀：每種形狀都有特殊性質和用途

1.8 矩陣加減：形狀相同，對應位置，批次加減

 

2 乘除

2.1 算術乘除：先乘除，後加減，括號內先算

2.2 向量乘法：純量乘法、向量內積、逐項積

2.3 矩陣乘法：最重要的線性代數運算規則

2.4 矩陣乘法第一角度

2.5 矩陣乘法第二角度

2.6 矩陣除法：計算反矩陣

 

3 幾何

3.1 幾何緣起：根植大地，求索星空

3.2 點動成線，線動成面，面動成體

3.3 角度和弧度

3.4 畢氏定理到三角函式

3.5 圓周率估算初賽：割圓術

 

4 代數

4.1 代數的前世今生：薪火相傳

4.2 集合：確定的一堆東西

4.3 從代數式到函式

4.4 巴斯卡三角：代數和幾何的完美合體

4.5 排列組合讓二項式係數更具意義

4.6 巴斯卡三角隱藏的數字規律

4.7 方程式組：求解雞兔同籠問題

 

第 2 篇 座標系

 

5 笛卡兒座標系

5.1 笛卡兒：我思故我在

5.2 座標系：代數視覺化，幾何參數化

5.3 圖解「雞兔同籠」問題

5.4 極座標：距離和夾角

5.5 參數方程式：引入一個參數

5.6 座標系必須是「橫平垂直的方格」？

 

6 三維座標系

6.1 三維直角座標系

6.2 空間平面：三元一次方程

6.3 空間直線：三元一次方程組

6.4 不等式：劃定區域

6.5 三大類不等式：約束條件

6.6 三維極座標

 

第 3 篇 解析幾何

 

7 距離

7.1 距離：未必是兩點間最短線段

7.2 歐氏距離：兩點間最短線段

7.3 點到直線的距離

7.4 等距線：換個角度看距離

7.5 距離間的量化關係

 

8 圓錐曲線

8.1 圓錐曲線外傳

8.2 圓錐曲線：對頂圓錐和截面相交

8.3 正圓：特殊的橢圓

8.4 橢圓：機器學習的多面手

8.5 旋轉橢圓：幾何變換的結果

8.6 拋物線：不止是函式

8.7 雙曲線：引力彈弓的軌跡

 

9 深入圓錐曲線

9.1 圓錐曲線：探索星辰大海

9.2 離心率：聯繫不同類型圓錐曲線

9.3 一組有趣的圓錐曲線

9.4 特殊橢圓：和給定矩形相切

9.5 超橢圓：和範數有關

9.6 雙曲函式：基於單位雙曲線

9.7 圓錐曲線的一般形式

 

第 4 篇 函式

 

10 函式

10.1 當代數式遇到座標系

10.2 一元函式： 一個引數

10.3 一元函式性質

10.4 二元函式：兩個引數

10.5 降維：二元函式切一刀得到一元函式

10.6 等高線：由函式值相等點連成

 

11 代數函式

11.1 初等函式：數學模型的基礎

11.2 一次函式： 一條斜線

11.3 二次函式： 一條拋物線

11.4 多項式函式：從疊加角度來看

11.5 冪函式：底數為引數

11.6 分段函式：不連續函式

 

12 超越函式

12.1 指數函式：指數為引數

12.2 對數函式：把連乘變成連加

12.3 高斯函式：高斯分佈之基礎

12.4 邏輯函式：在0 和1 之間設定值

12.5 三角函式：週期函式的代表

12.6 函式變換：平移、縮放、對稱

 

13 二元函式

13.1 二元一次函式：平面

13.2 正圓拋物面：等高線為正圓

13.3 橢圓拋物面：等高線為橢圓

13.4 雙曲拋物面：馬鞍面

13.5 山谷和山脊：無數極值點

13.6 錐面：正圓拋物面開方

13.7 絕對值函式：與超橢圓有關

13.8 邏輯函式：從一元到二元

13.9 高斯函式：機器學習的多面手

 

14 數列

14.1 芝諾悖論：阿基里斯追不上烏龜

14.2 數列分類

14.3 等差數列：相鄰兩項差相等

14.4 等比數列：相鄰兩項比值相等

14.5 費氏數列

14.6 累加：大寫西格瑪

14.7 數列極限：微積分的一塊基石

14.8 數列極限估算圓周率

 

第 5 篇 微積分

 

15 極限和導數

15.1 牛頓小傳

15.2 極限：研究微積分的重要數學工具

15.3 左極限、右極限

15.4 幾何角度看導數：切線斜率

15.5 導數也是函式

 

16 偏導數

16.1 幾何角度看偏導數

16.2 偏導也是函式

16.3 二階偏導：一階偏導函式的一階偏導

16.4 二元曲面的駐點： 一階偏導為0

 

17 微分

17.1 幾何角度看微分：線性近似

17.2 泰勒級數：多項式函式近似

17.3 多項式近似和誤差

17.4 二元泰勒展開：用多項式曲面近似

17.5 數值微分：估算一階導數

 

18 積分

18.1 萊布尼茲：既生瑜，何生亮

18.2 從小車等加速直線運動說起

18.3 一元函式積分

18.4 高斯函式積分

18.5 誤差函式：S 型函式的一種

18.6 二重積分：類似二重求和

18.7 「偏積分」：類似偏求和

18.8 估算圓周率：牛頓法

18.9 數值積分：黎曼求積

 

19 最佳化入門

19.1 最佳化問題：尋找山峰、山谷

19.2 建構最佳化問題

19.3 約束條件：限定搜尋區域

19.4 一元函式的極值點判定

19.5 二元函式的極值點判定

 

第 6 篇 機率統計

 

20 機率入門

20.1 機率簡史：出身賭場

20.2 二元樹：一生二、二生三

20.3 拋硬幣：正反面機率

20.4 聊聊機率：向上還是向下

20.5 一枚質地不均勻的硬幣

20.6 隨機中有規律

 

21 統計入門

21.1 統計的前世今生：強國知十三數

21.2 散點圖：當資料遇到座標系

21.3 平均值：集中程度

21.4 標準差：離散程度

21.5 協方差：聯合變化程度

21.6 線性相關係數：線性關係強弱

 

第 7 篇 線性代數

 

22 向量

22.1 向量：有大小、有方向

22.2 幾何角度看向量運算

22.3 向量簡化距離運算

22.4 向量內積與向量夾角

22.5 二維到三維

22.6 投影：影子的長度

 

23 雞兔同籠1

23.1 從雞兔同籠說起

23.2 「雞」向量與「兔」向量

23.3 那幾隻毛絨耳朵

23.4 「雞兔」套餐

23.5 套餐轉換：基底轉換

23.6 豬引發的投影問題

23.7 黃鼠狼驚魂夜：「雞飛兔脫」與超定方程式組

 

24 雞兔同籠2

24.1 雞兔數量的有趣關係

24.2 試試比例函式： y = ax

24.3 最小平方法

24.4 再試試一次函式： y = ax +b

24.5 再探黃鼠狼驚魂夜：超定方程式組

24.6 統計方法求解回歸參數

 

25 雞兔同籠3

25.1 雞兔互變奇妙夜

25.2 第一角度：「雞/ 兔→雞」和「雞/ 兔→兔」

25.3 第二角度：「雞→雞/ 兔」和「兔→雞/ 兔」

25.4 連續幾夜雞兔轉換

25.5 有向量的地方，就有幾何

25.6 彩蛋