泛函分析

目　錄　

第 1章　線性空間　1　

第 2章　線性映射　7　

2.1　線性映射生成的代數　7　

2.2　線性映射的指標　10　

第3章　Hahn-Banach定理　16　

3.1　延拓定理　16　

3.2　Hahn-Banach定理的幾何形式　17　

3.3　Hahn-Banach定理的延拓　20　

第4章　Hahn-Banach定理的應用　24　

4.1　正線性泛函的延拓　24　

4.2　Banach極限　25　

4.3　有限可加的不變集函數　27　

第5章　賦範線性空間　29　

5.1　範數　29　

5.2　單位球的非緊性　34　

5.3　等距　37　

第6章　Hilbert空間　42　

6.1　內積　42　

6.2　閉凸集中的**佳逼近點　44　

6.3　線性泛函　45　

6.4　線性張　47　

第7章　Hilbert空間結果的應用　51　

7.1　Radon-Nikodym定理　51　

7.2　Dirichlet問題　52　

第8章　賦範線性空間的對偶　59　

8.1　有界線性泛函　59　

8.2　有界線性泛函的延拓　60　

8.3　自反空間　63　

8.4　集合的支撐函數　67　

第9章　對偶性的應用　71　

9.1　加權冪的完備性　71　

9.2　M.untz逼近定理　72　

9.3　Runge定理　74　

9.4　函數論中的對偶變分問題　75　

9.5　Green函數的存在性　77　

第 10章　弱收斂　81　

10.1　弱收斂序列的一致有界性　82　

10.2　弱序列緊性　85　

10.3　弱*收斂　86　

第 11章　弱收斂的應用　88　

11.1　用連續函數逼近δ函數　88　

11.2　傅里葉級數的發散性　89　

11.3　近似求積分　90　

11.4　向量值函數的弱解析性和強解析性　90　

11.5　偏微分方程解的存在性　91　

11.6　具有正實部的解析函數的表示　94　

第 12章　弱拓撲和弱*拓撲　96　

第 13章　局部凸空間拓撲和Krein-Milman定理　100　

13.1　通過線性泛函分離點　101　

13.2　Krein-Milman定理　102　

13.3　Stone-Weierstrass定理　103　

13.4　Choquet定理　104

第 14章　凸集及其極值點的例子　109　

14.1　正線性泛函　109　

14.2　凸函數　110　

14.3　完全單調函數　112　

14.4　Carathéodory和Bochner定理　116　

14.5　Krein的一個定理　120　

14.6　正調和函數　121　

14.7　Hamburger矩問題　122　

14.8　GBirkho猜測　123　

14.9　De Finetti定理　127　

14.10　保測映射　128　

第 15章　有界線性映射　131　

15.1　有界性和連續性　131　

15.2　強拓撲和弱拓撲　135　

15.3　一致有界原理　136　

15.4　有界線性映射的復合　137　

15.5　開映射原理　137　

第 16章　有界線性映射的例子　142　

16.1　積分算子的有界性　142　

16.2　Marcel Riesz凸性定理　145　

16.3　有界積分算子的例子　147　

16.4　雙曲方程的解算子　152　

16.5　熱傳導方程的解算子　153　

16.6　奇異積分算子，擬微分算子和Fourier積分算子　156　

第 17章　Banach代數及其基本譜理論　157　

17.1　賦範代數　157　

17.2　函數演算　161　

第 18章　交換Banach代數的Gelfand理論　165　

第 19章　交換Banach代數的Gelfand理論的應用　171　

19.1　代數C(S)　171　

19.2　Gelfand緊化　171　

19.3　絕對收斂的Fourier級數　172　

19.4　閉單位圓盤上的解析函數　173　

19.5　開單位圓盤內的解析函數　174　

19.6　Wiener的陶伯定理　175　

19.7　交換的B*代數　180　

第 20章　算子及其譜的例子　184　

20.1　可逆映射　184　

20.2　移位　186　

20.3　Volterra積分算子　187　

20.4　Fourier變換　188　

第 21章　緊映射　189　

21.1　緊映射的基本性質　189　

21.2　緊映射的譜理論　193　

第 22章　緊算子的例子　199　

22.1　緊性的判別準則　199　

22.2　積分算子　200　

22.3　橢圓偏微分算子的逆　202　

22.4　由拋物型方程定義的算子　203　

22.5　殆正交基　204　

第 23章　正的緊算子　206　

23.1　正的緊算子的譜　206　

23.2　隨機積分算子　208　

23.3　二階橢圓算子的逆　210　

第 24章　積分方程的Fredholm理論　212　

24.1　Fredholm行列式和Fredholm預解式　212　

24.2　Fredholm行列式的乘法性質　219　

24.3　Gelfand-Levian-Marchenko方程和Dyson的公式　221　

第 25章　不變子空間　225　

25.1　緊算子的不變子空間　225

25.2　不變子空間套　227　

第 26章　射線上的調和分析　233　

26.1　調和函數的Phragmén-Lindel f原理　233　

26.2　抽象Phragmén-Lindel f原理　234　

26.3　漸進展開　243　

第 27章　指標理論　246　

27.1　Noether指標　246　

27.2　Toeplitz算子　250　

27.3　Hankel算子　256　

第 28章　Hilbert空間上的緊對稱算子　259　

第 29章　緊對稱算子的例子　266　

29.1　捲積　266　

29.2　一個微分算子的逆　268　

29.3　偏微分算子的逆　269　

第30章　跡類和跡公式　271　

30.1　極分解與奇異值　271　

30.2　跡類，跡範數，跡　272　

30.3　跡公式　275　

30.4　行列式　281　

30.5　跡類算子的例子和反例　282　

30.6　Poisson和公式　287　

30.7　如何將算子的指標表示成跡的差　288　

30.8　Hilbert-Schmidt類　290　

30.9　Banach空間上的算子的跡和行列式　291　

第31章　對稱算子、正規算子和酉算子的譜理論　293　

31.1　對稱算子的譜　294　

31.2　對稱算子的函數演算　296　

31.3　對稱算子的譜分解　298　

31.4　絕對連續譜、奇異譜和點譜　300　

31.5　對稱算子的譜表示　301　

31.6　正規算子的譜分解　305　

31.7　酉算子的譜分解　306　

第32章　自伴算子的譜理論　311　

32.1　譜分解　311　

32.2　利用Cayley變換構造譜分解　320　

32.3　自伴算子的函數演算　321　

第33章　自伴算子的例子　325　

33.1　無界對稱算子的延拓　325　

33.2　對稱算子延拓的例子，虧指數　327　

33.3　Friedrichs延拓　331　

33.4　Rellich擾動定理　334　

33.5　矩問題　337　

第34章　算子半群　343　

34.1　強連續的單參數半群　344　

34.2　半群的構造　349　

34.3　半群的逼近　352　

34.4　半群的擾動　356　

34.5　半群的譜理論　358　

第35章　酉算子群　363　

35.1　Stone定理　363　

35.2　遍歷理論　365　

35.3　Koopman群　367　

35.4　波動方程　369　

35.5　平移表示　370　

35.6　Heisenberg交換關系　376　

第36章　強連續算子半群的例子　382　

36.1　由拋物型方程定義的半群　382　

36.2　由橢圓型方程定義的半群　382　

36.3　半群的指數型衰減　386　

36.4　Lax-Phillips半群　390

36.5　障隘外部的波動方程　391　

第37章　散射理論　395　

37.1　擾動理論　395　

37.2　波算子　397　

37.3　波算子的存在性　399　

37.4　波算子的不變性　406　

37.5　位勢散射　406　

37.6　散射算子　407　

37.7　Lax-Phillips散射理論　408　

37.8　散射矩陣的零點　414　

37.9　自守波動方程　415　

第38章　Beurling定理　426　

38.1　Hardy空間　426　

38.2　Beurling定理　427　

38.3　Titchmarsh捲積定理　434　

附錄　A Riesz-Kakutani表示定理　439　

A.1　正線性泛函　439　

A.2　體積　442　

A.3　函數空間L　444　

A.4　可測集和測度　446　

A.5　Lebesgue測度和積分　450　

附錄　B廣義函數理論　451　

B.1　定義和例子　451　

B.2　廣義函數的運算　452　

B.3　廣義函數的局部性質　454　

B.4　在偏微分方程中的應用　460　

B.5　Fourier變換　464　

B.6　Fourier變換的應用　472　

B.7　Fourier級數　473　

附錄　C Zorn引理　475　

關鍵詞索引　476