應用泛函分析
樓旭陽
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商品描述
"【內容簡介】本書是為工科各專業研究生編寫的泛函分析基礎教材，全書共分七章，內容包括：實分析基礎、距離空間、Banach空間、Hilbert空間、有界線性算子、線性算子的譜理論、線性算子半群及其應用。本書註重介紹問題的來源和背景，內容豐富，列舉了大量例題，敘述深入淺出，特別強調泛函分析理論和方法在**化問題和控制論中的應用。 本書可作為工科研究生和應用數學本科生的教學用書，也可作為數學系學生學習泛函分析時的參考書，並可供相關科學技術人員學習參考。 "
目錄大綱
符號說明 .................................................................................................. IX
第 1章實分析基礎 .................................................................................... 1
1.1數列的收斂
.................................................................................. 1
1.2函數列的收斂
............................................................................... 3
1.
3可測集與可測函數 ........................................................................ 7
1.4勒貝格積分
................................................................................. 10
1.4.1黎曼積分
.......................................................................... 10
1.
4.2勒貝格積分的定義 ............................................................. 12
1.
4.3勒貝格積分的性質 ............................................................. 14
1.5
Lp空間 ....................................................................................... 17 習題 1 ................................................................................................. 19
第 2章距離空間 ...................................................................................... 21
2.
1距離空間的基本概念 .................................................................... 21
2.
1.1距離空間的定義 ................................................................ 22
2.
1.2距離空間中的點集 ............................................................. 25
2.
1.3距離空間中的收斂 ............................................................. 27
2.
1.4距離空間中的連續映射 ...................................................... 29
2.
1.5稠密性與可分性 ................................................................ 31
2.
2距離空間的完備性 ....................................................................... 34
2.2.1
Cauchy列與完備性 ........................................................... 34
2.
2.2距離空間的完備化 ............................................................. 39
2.
3距離空間的列緊性與緊性 ............................................................. 40
2.
3.1列緊集與緊集 ................................................................... 41
2.
3.2列緊集的性質 ................................................................... 42
2.
3.3緊集上的連續映射 ............................................................. 44
2.
4壓縮映射原理及其應用 ................................................................. 44
2.
4.1不動點與壓縮映射 ............................................................. 45
2.
4.2壓縮映射原理 ................................................................... 46
2.
4.3壓縮映射原理的應用 ......................................................... 48 習題 2 ................................................................................................. 53
第 3章 Banach空間 ................................................................................ 56
3.1線性空間
..................................................................................... 56
3.
1.1線性空間的定義 ................................................................ 56
3.1.2線性算子
.......................................................................... 61
3.2賦範線性空間
.............................................................................. 64
3.
2.1賦範線性空間的概念 ......................................................... 64
3.
2.2由範數誘導的距離 ............................................................. 67
3.
2.3依範數收斂 ....................................................................... 69
3.
3完備賦範線性空間 ....................................................................... 70
3.3.1
Banach空間的概念 ........................................................... 71
3.3.2
Banach空間的性質 ........................................................... 74
3.3.3
Riesz引理 ........................................................................ 76
3.
4有限維賦範線性空間 .................................................................... 77 習題 3 ................................................................................................. 80
4.1內積空間
..................................................................................... 83
4.
1.1內積空間的概念 ................................................................ 84
4.
1.2內積導出的範數 ................................................................ 86
4.
1.3範數成為內積的條件 ......................................................... 88
4.
1.4完備內積空間 ................................................................... 90
4.2正交與正交系
.............................................................................. 92
4.2.1正交性
............................................................................. 92
4.
2.2正交系和標準正交系 ......................................................... 94
4.2.3
Gram-Schmidt正交化 ....................................................... 96
4.3
Fourier級數和標準正交基 ............................................................. 98
4.3.1
Fourier級數和 Bessel不等式 .............................................. 98
4.
3.2標準正交基 ..................................................................... 100
4.3.3
Hilbert空間的同構 .......................................................... 107
4.
4最佳逼近和正交分解定理 ........................................................... 109
4.4.1最佳逼近
........................................................................ 109
4.
4.2正交分解定理 ................................................................. 111
4.
4.3正交投影算子 ................................................................. 114
4.
5正交分解定理的應用 .................................................................. 116
4.5.1最優控制
........................................................................ 116
4.
5.2函數逼近問題 ................................................................. 118
4.
5.3最小二乘法 ..................................................................... 120 習題 4 ............................................................................................... 121
第 4章 Hilbert空間 ................................................................................ 83
第 5章有界線性算子理論 ....................................................................... 123
5.1線性算子
................................................................................... 123
5.
1.1有界線性算子 ................................................................. 124
5.1.2連續算子
........................................................................ 128
5.2算子空間
................................................................................... 131
5.
2.1算子範數和算子空間 ....................................................... 131
5.
2.2算子列的收斂性 .............................................................. 137
5.
2.3算子空間的完備性 ........................................................... 139
5.3一致有界定理
............................................................................ 140
5.
3.1一致有界定理與共鳴定理 ................................................. 141
5.
3.2一致有界定理的應用 ....................................................... 143
5.
4逆算子與逆算子定理 .................................................................. 148
5.4.1逆算子
........................................................................... 148
5.
4.2逆算子定理 ..................................................................... 149
5.
4.3逆算子定理的應用 ........................................................... 151
5.
5閉算子與閉圖像定理 .................................................................. 152
5.5.1閉算子
........................................................................... 152
5.
5.2閉圖像定理 ..................................................................... 154
5.6
Hahn-Banach延拓定理 ............................................................... 156 習題 5 ............................................................................................... 159
第 6章共軛空間與共軛算子 ................................................................... 163
6.1共軛空間與
Riesz表示定理 .......................................................... 163
6.2自反空間
................................................................................... 168
6.3共軛算子
................................................................................... 171
6.
4強收斂與弱收斂 ......................................................................... 179
6.
4.1點列的強收斂與弱收斂 .................................................... 179
6.
4.2算子列的強收斂與弱收斂 ................................................. 182
6.
4.3泛函列的弱收斂與弱 *收斂 .............................................. 183
6.5
Riesz表示定理的應用 ................................................................. 184 習題 6 ............................................................................................... 190
第 7章線性算子的譜理論 ....................................................................... 193
7.1譜集和正則集
............................................................................ 193
7.
2有界線性算子的譜理論 ............................................................... 197
7.
3自伴算子的譜理論 ..................................................................... 201
7.
4緊算子的譜理論 ......................................................................... 204
7.
4.1緊算子的定義 ................................................................. 204
7.
4.2緊算子的性質 ................................................................. 206
7.
4.3緊算子的譜和 Fredholm抉擇定理 ..................................... 209 習題 7 ............................................................................................... 214
第 8章線性算子半群及其應用 ................................................................ 217
8.1抽象
Cauchy問題初探 ................................................................ 217
8.
2強連續算子半群 ......................................................................... 220
8.2.1
C0半群的定義和性質 ...................................................... 221
8.2.2
C0半群的生成定理 .......................................................... 223
8.
2.3耗散算子與壓縮半群 ....................................................... 224
8.
3線性發展方程的解 ..................................................................... 228
8.
4線性算子半群的應用 .................................................................. 231
8.
4.1熱傳導問題 ..................................................................... 232
8.
4.2弦振動問題 ..................................................................... 234
8.4.3人口方程
........................................................................ 236
8.4.4
Euler-Bernoulli梁方程 .................................................... 238
8.
4.5柔性弔車系統 ................................................................. 241 習題 8 ............................................................................................... 245
參考文獻 ................................................................................................. 247
