概率論及其應用 捲2 第2版

本書是威廉·費勒的著作《概率論及其應用（捲1）》的續篇。第1、2、3、6章介紹了各種重要的分佈和隨機過程；第7、8、16、17章討論大數定律、中心極限定理和無窮可分分佈；第9、10章討論半群方法與無窮可分分佈、馬爾可夫過程的關系；第11章為更新理論；第12、18章論述隨機游動及傅立葉方法的應用；第13、14章論述拉普拉斯變換及其應用；第19章為調和分析。

[美]威廉·费勒（1907年7月1日—1970年1月14日），克罗地亚裔美国数学家，20世纪最伟大的概率学家之一。师从著名数学家希尔伯特和柯朗，年仅20岁就获得哥廷根大学的博士学位。在生灭过程、随机泛函、可列马尔可夫过程积分型泛函的分布、布朗运动与位势、超过程等方向上均成就斐然，对近代概率论的发展做出了卓越贡献。特别是他的两本专著（《概率论及其应用》，共2卷），曾影响了世界各国几代概率论及相关领域的人士。

第 1 章 指數密度與均勻密度

1.1　引言

1.2　密度和捲積

1.3　指數密度

1.4　等待時間的悖論、泊松過程

1.5　倒霉事的持續時間

1.6　等待時間與順序統計量

1.7　均勻分佈

1.8　隨機分裂

1.9　捲積與覆蓋定理

1.10　隨機方向

1.11　勒貝格測度的應用

1.12　經驗分佈

1.13　習題

第　2 章 特殊密度和隨機化

2.1　符號與約定

2.2　Γ 分佈

　2.3 與統計學有關的分佈

2.4　一些常用的密度

2.5　隨機化與混合

2.6　離散分佈

2.7　貝塞爾函數與隨機游動

2.8　圓周上的分佈

2.9　習題

第3　章 高維密度、正態密度與正態過程

3.1　密度

3.2　條件分佈

3.3　再論指數分佈和均勻分佈

　3.4 正態分佈的特徵

3.5　矩陣記號、協方差矩陣

3.6　正態密度與正態分佈

　3.7 平穩正態過程

3.8　馬爾可夫正態密度

3.9　習題

第4　章 概率測度與概率空間

4.1　貝爾函數

4.2　區間函數與在Rr 上的積分

4.3　σ 代數和可測性

4.4　概率空間和隨機變量

4.5　擴張定理

4.6　乘積空間和獨立變量序列

4.7　零集和完備化

第5　章 Rr 中的概率分佈 .

5.1　分佈與期望

5.2　預備知識

5.3　密度

5.4　捲積

5.5　對稱化

5.6　分部積分、矩的存在性

5.7　切比雪夫不等式

5.8　進一步的不等式、凸函數

5.9　簡單的條件分佈、混合

　5.10 條件分佈

　5.11 條件期望

5.12　習題

第6　章 一些重要的分佈和過程

6.1　R1 中的穩定分佈

6.2　例

6.3　R1 中的無窮可分分佈

6.4　獨立增量過程

　6.5 復合泊松過程中的破產問題

6.6　更新過程

6.7　例與問題

6.8　隨機游動

6.9　排隊過程

6.10　常返的和瞬時的隨機游動

6.11　一般的馬爾可夫鏈

　6.12 鞅

6.13　習題

第7　章 大數定律、在分析中的應用

7.1　主要引理與記號

7.2　伯因斯坦多項式、絕對單調函數

7.3　矩問題

　7.4 在可交換變量中的應用

　7.5 廣義泰勒公式與半群

7.6　拉普拉斯變換的反演公式

　7.7 同分佈變量的大數定律

　7.8 強大數定律

　7.9 向鞅的推廣

7.10　習題

第8　章 基本極限定理 .

8.1　測度的收斂性

8.2　特殊性質

8.3　作為算子的分佈

8.4　中心極限定理

　8.5 無窮捲積

8.6　選擇定理

　8.7 馬爾可夫鏈的遍歷定理

8.8　正則變化

　8.9 正則變化函數的漸近性質

8.10　習題

第9　章 無窮可分分佈與半群

9.1　概論

9.2　捲積半群

9.3　預備引理

9.4　有限方差的情形

9.5　主要定理

9.6　例：穩定半群　265

9.7　具有同分佈的三角形陣列

9.8　吸引域

9.9　可變分佈、三級數定理

9.10　習題

第　10 章 馬爾可夫過程與半群

10.1　偽泊松型

10.2　一種變形：線性增量

10.3　跳躍過程

10.4　R1 中的擴散過程

10.5　向前方程、邊界條件

10.6　高維擴散

10.7　從屬過程

10.8　馬爾可夫過程與半群

10.9　半群理論的“指數公式”

10.10　生成元、向後方程

第　11 章 更新理論

11.1　更新定理

11.2　更新定理的證明

　11.3 改進

11.4　常返更新過程

11.5　更新時刻的個數Nt .

11.6　可終止（瞬時）過程

11.7　各種各樣的應用

11.8　隨機過程中極限的存在性

　11.9 全直線上的更新理論

11.10　習題

第　12 章 R1 中的隨機游動 .

12.1　基本的概念與記號

12.2　對偶性，隨機游動的類型

12.3　階梯高度的分佈、維納–霍普夫因子分解

12.4　例

12.5　應用

12.6　一個組合引理

12.7　階梯時刻的分佈

12.8　反正弦定律

12.9　雜錄

12.10　習題

第　13 章 拉普拉斯變換、陶伯定理、預解式

13.1　定義、連續性定理

13.2　基本性質

13.3　例

13.4　完全單調函數、反演公式

13.5　陶伯定理

　13.6 穩定分佈

　13.7 無窮可分分佈

　13.8 高維情形

13.9　半群的拉普拉斯變換

13.10　希爾–吉田定理

13.11　習題

第　14 章 拉普拉斯變換的應用

14.1　更新方程：理論

14.2　更新型方程：例

14.3　包含反正弦分佈的極限定理

14.4　忙期與有關的分支過程.

14.5　擴散過程

14.6　生滅過程與隨機游動

14.7　柯爾莫哥洛夫微分方程

14.8　例：純生過程 .

14.9　遍歷極限與首次通過時間的計算

14.10　習題

第　15 章 特徵函數

15.1　定義、基本性質

15.2　特殊的分佈，混合

15.3　唯一性，反演公式

15.4　正則性

15.5　關於相等分量的中心極限定理

15.6　林德伯格條件

15.7　高維特徵函數

　15.8 正態分佈的兩種特徵

15.9　習題

　第 16 章 與中心極限定理有關的展開式

16.1　記號

16.2　密度的展開式

16.3　磨光

16.4　分佈的展開式

16.5　貝利–埃森定理

16.6　在可變分量情形下的展開式

16.7　大偏差

第　17 章 無窮可分分佈

17.1　無窮可分分佈

17.2　標準型，主要的極限定理

17.3　例與特殊性質

17.4　特殊性質

17.5　穩定分佈及其吸引域

　17.6 穩定密度

17.7　三角形陣列

　17.8 類L

　17.9 部分吸引、“普遍的定律”

　17.10 無窮捲積

17.11　高維的情形

17.12　習題

第　18 章 傅里葉方法在隨機游動中的應用

18.1　基本恆等式

　18.2 有限區間，瓦爾德逼近 .

18.3　維納–霍普夫因子分解 .

18.4　含義及應用 .

18.5　兩個較深刻的定理

18.6　常返性準則

18.7　習題

第　19 章 調和分析

19.1　帕塞瓦爾關系式

19.2　正定函數

19.3　平穩過程

19.4　傅里葉級數

　19.5 泊松求和公式

19.6　正定序列

19.7　L2 理論

19.8　隨機過程與隨機積分

19.9　習題

習題解答

參考文獻

索引