哈代數論 第6版 An Introduction To The Theory Of Numbers 6th Edition

戈弗雷·哈代（Godfrey Harold Hardy）

英国数学界和英国分析学派的领袖，享誉世界的数学大师，在数论和分析学方面有着巨大的贡献和深远影响。培养和指导了众多数学大家，其中包括印度数学奇才拉马努金和我国数学家华罗庚。他还著有《一个数学家的辩白》《纯数学教程》《不等式》等。

 

爱德华·赖特（Edward Maitland Wright）

英国著名数学家，毕业于牛津大学，是戈弗雷·哈代的学生。生前担任英国名校阿伯丁大学校长多年。爱丁堡皇家学会会士、伦敦数学会会士。曾任 Journal of Graph Theory 和 Zentralblatt für Mathematik 的名誉主编。

 

戴维·希思-布朗（David Roger Heath-Brown）

著名数学家，牛津大学教授，英国皇家学会会员，分别于1981年和1996年获得伦敦数学会颁发的贝维克奖（Berwick Prize）。

 

约瑟夫·西尔弗曼（Joseph H. Silverman）

著名数学家，美国布朗大学教授，哈佛大学博士毕业。著有 The Arithmetic of Elliptic Curves 等十多本书，发表学术论文100多篇。

 

张明尧（Zhang Mingyao）

1945年12月出生，1987年在中国科学院数学研究所获得博士学位。先后在安徽大学、中国科技大学博士后流动站、中国科技大学、华东理工大学等学校工作，长期从事解析数论、代数数论以及计算数论方面的研究工工作，有多部译作出版。

 

张凡（Zhang Fan）

1982年7月出生，加拿大康考迪亚大学数学系毕业，获得统计专业硕士学位。参与翻译的著作有《数论导引（第5版）》和《具体数学：计算机科学基础（第2版）》等。

第 1 章素數(1) 1

1.1　整除性　1

1.2　素數　2

1.3　算術基本定理的表述　3

1.4　素數序列　4

1.5　關於素數的幾個問題　5

1.6　若乾記號　6

1.7　對數函數　8

1.8　素數定理的表述　9

本章附註　10

第　2 章素數(2)　12

2.1　Euclid 第二定理的第 一個證明　12

2.2　Euclid 方法的更進一步推論　12

2.3　某種算術級數中的素數　13

2.4　Euclid 定理的第二個證明　14

2.5　Fermat 數和Mersenne 數　15

2.6　Euclid 定理的第三個證明　17

2.7　關於素數公式的進一步結果　18

2.8　關於素數的未解決的問題　19

2.9　整數模　20

2.10　算術基本定理的證明　21

2.11　基本定理的另一個證明　22

本章附註　22

第3　章Farey 數列和Minkowski定理　24

3.1　Farey 數列的定義和最簡單的性質　24

3.2　兩個特徵性質的等價性　25

3.3　定理28 和定理29 的第 一個證明　26

3.4　定理28 和定理29 的第二個證明　26

3.5　整數格點　27

3.6　基本格的某些簡單性質　28

3.7　定理28 和定理29 的第三個證明　30

3.8　連續統的Farey 分割　30

3.9　Minkowski 的一個定理　32

3.10　Minkowski 定理的證明　33

3.11　定理37 的進一步拓展　35

本章附註　37

第4　章無理數　39

4.1　概論　39

4.2　已知的無理數　40

4.3　Pythagoras 定理及其推廣　40

4.4　基本定理在定理43～45 證明中的應用　42

4.5　歷史雜談　43

4.6√5　無理性的幾何證明　45

4.7　更多的無理數　46

本章附註　48

第5　章同餘和剩餘　49

5.1　最大公約數和最小公倍數　49

5.2　同餘和剩餘類　50

5.3　同餘式的初等性質　51

5.4　線性同餘式　52

5.5　Euler 函數 (m)　54

5.6　定理59 和定理61 對三角和的應用　56

5.7　一個一般性的原理　59

5.8　正十七邊形的構造　60

本章附註　65

第6　章Fermat 定理及其推論　66

6.1　Fermat 定理　66

6.2　二項系數的某些性質　66

6.3　定理72 的第二個證明　69

6.4　定理22 的證明　69

6.5　二次剩餘　70

6.6　定理79 的特例：Wilson定理　72

6.7　二次剩餘和非剩餘的初等性質　73

6.8　a (mod m) 的階　75

6.9　Fermat 定理的逆定理　76

6.10　2p 1 1 能否被p2 整除　77

6.11　Gauss 引理和2 的二次特徵　78

6.12　二次互倒律　81

6.13　二次互倒律的證明　83

6.14　素數的判定　84

6.15　Mersenne 數的因子, Euler 的一個定理　86

本章附註　87

第7　章同餘式的一般性質　89

7.1　同餘式的根　89

7.2　整多項式和恆等同餘式　89

7.3　多項式(mod m) 的整除性　91

7.4　素數模同餘式的根　92

7.5　一般定理的某些應用　93

7.6　Fermat 定理和Wilson 定理的Lagrange 證明　95

7.7　[ 12 (p 1)]! 的剩餘　96

7.8　Wolstenholme 的一個定理　97

7.9　von Staudt 定理　99

7.10　von Staudt 定理的證明　100

本章附註　102

第8　章復合模的同餘式　103

8.1　線性同餘式　103

8.2　高次同餘式　105

8.3　素數冪模的同餘式　105

8.4　例子　107

8.5　Bauer 的恆等同餘式　108

8.6　Bauer 的同餘式：p = 2 的情形　110

8.7　Leudesdorf 的一個定理　111

8.8　Bauer 定理的進一步的推論　113

8.9　2p 1 和(p 1)! 關於模p2 的同餘式　116

本章附註　117

第9　章用十進制小數表示數　118

9.1　與給定的數相伴的十進制小數　118

9.2　有限小數和循環小數　121

9.3　用其他進位製表示數　123

9.4　用小數定義無理數　124

9.5　整除性判別法　125

9.6　有最大周期的十進制小數　126

9.7　Bachet 的稱重問題　127

9.8　Nim 博弈　129

9.9　缺失數字的整數　131

9.10　測度為零的集合　132

9.11　缺失數字的十進制小數　133

9.12　正規數　135

9.13　幾乎所有的數都是正規數的證明　136

本章附註　139

第　10 章連分數　141

10.1　有限連分數　141

10.2　連分數的漸近分數　142

10.3　有正的商的連分數　143

10.4　簡單連分數　144

10.5　用簡單連分數表示不可約有理分數　145

10.6　連分數算法和Euclid 算法　147

10.7　連分數與其漸近分數的差　149

10.8　無限簡單連分數　151

10.9　用無限連分數表示無理數　152

10.10　一個引理　153

10.11　等價的數　155

10.12　周期連分數　157

10.13　某些特殊的二次根式　159

10.14　Fibonacci 數列和Lucas數列　162

10.15　用漸近分數作逼近　165

本章附註　168

第　11 章用有理數逼近無理數　169

11.1　問題的表述　169

11.2　問題的推廣　170

11.3　Dirichlet 的一個論證方法　171

11.4　逼近的階　173

11.5　代數數和超越數　174

11.6　超越數的存在性　175

11.7　Liouville 定理和超越數的構造　176

11.8　對任意無理數的最佳逼近的度量　178

11.9　有關連分數的漸近分數的另一個定理　179

11.10　具有有界商的連分數　181

11.11　有關逼近的進一步定理　184

11.12　聯立逼近　185

11.13　e 的超越性　186

11.14　π 的超越性　189

本章附註　192

第　12 章k(1), k(i), k(ρ) 中的算術基本定理　194

12.1　代數數和代數整數　194

12.2　有理整數、Gauss 整數和k(ρ)中的整數　194

12.3　Euclid 算法　196

12.4　從Euclid 算法推導k(1) 中的基本定理　196

12.5　關於Euclid 算法和基本定理的歷史註釋　198

12.6　Gauss 整數的性質　198

12.7　k(i) 中的素元　200

12.8　k(i) 中的算術基本定理　201

12.9　k(ρ) 中的整數　204

本章附註　206

第　13 章某些Diophantus方程　207

13.1　Fermat 大定理　207

13.2　方程x2 + y2 = z2　207

13.3　方程x4 + y4 = z4　09

13.4　方程x3 + y3 = z3　210

13.5　方程x3 + y3 = 3z3　214

13.6　用有理數的三次冪之和表示有理數　215

13.7　方程x3 + y3 + z3 = t3　217

本章附註　220

第　14 章二次域(1)　223

14.1　代數數域　223

14.2　代數數和代數整數、本原多項式　224

14.3　一般的二次域k(√m)　225

14.4　單位和素元　226

14.5　k(√2) 中的單位　228

14.6　基本定理不成立的數域　230

14.7　復Euclid 域　231

14.8　實Euclid 域　233

14.9　實Euclid 域(續)　235

本章附註　237

第　15 章二次域(2)　239

15.1　k(i) 中的素元　239

15.2　k(i) 中的Fermat 定理　240

15.3　k(ρ) 中的素元　241

15.4　k(√2) 和k(√5) 中的素元　242

15.5　Mersenne 數M4n+3 的素性的Lucas 判別法　245

15.6　關於二次域的算術的一般性註釋　247

15.7　二次域中的理想　248

15.8　其他的域　250

本章附註　252

第　16 章算術函數 (n), μ(n),d(n), σ(n), r(n)　254

16.1　函數 (n)　254

16.2　定理63 的另一個證明　255

16.3　M bius 函數　255

16.4　M bius 反演公式　257

16.5　進一步的反演公式　258

16.6　Ramanujan 和的估計　258

16.7　函數d(n) 和σk(n)　260

16.8　完全數　261

16.9　函數r(n)　262

16.10　r(n) 公式的證明　263

本章附註　265

第　17 章算術函數的生成函數　266

17.1　由Dirichlet 級數生成算術函數　266

17.2　ζ 函數 .267

17.3　ζ(s) 在s → 1 時的性狀　268

17.4　Dirichlet 級數的乘法　270

17.5　某些特殊算術函數的生成函數　272

17.6　M bius 公式的解析說明　273

17.7　函數Λ(n)　276

17.8　生成函數的進一步的例子　278

17.9　r(n) 的生成函數　279

17.10　其他類型的生成函數　280

本章附註　282

第　18 章算術函數的階　283

18.1　d(n) 的階　283

18.2　d(n) 的平均階　286

18.3　σ(n) 的階　289

18.4　(n) 的階　290

18.5　(n) 的平均階　291

18.6　無平方因子數的個數　292

18.7　r(n) 的階　293

本章附註　295

第　19 章分劃　297

19.1　加性算術的一般問題　297

19.2　數的分劃　297

19.3　p(n) 的生成函數　298

19.4　其他的生成函數　300

19.5　Euler 的兩個定理　301

19.6　進一步的代數恆等式　304

19.7　F(x) 的另一個公式　304

19.8　Jacobi 的一個定理　305

19.9　Jacobi 恆等式的特例　307

19.10　定理353 的應用　309

19.11　定理358 的初等證明　310

19.12　p(n) 的同餘性質　312

19.13　Rogers-Ramanujan恆等式　314

19.14　定理362 和定理363 的證明　316

19.15　Ramanujan 連分數　318

本章附註　319

第　20 章用兩個或四個平方和表示數　322

20.1　Waring 問題：數g(k) 和G(k)　322

20.2　平方和　323

20.3　定理366 的第二個證明　324

20.4　定理366 的第三個和第四個證明　325

20.5　四平方定理　327

20.6　四元數　328

20.7　關於整四元數的預備定理　331

20.8　兩個四元數的最高右公約數　332

20.9　素四元數和定理370 的證明　334

20.10　g(2) 和G(2) 的值　335

20.11　定理369 的第三個證明的引理　336

20.12　定理369 的第三個證明：表法個數　337

20.13　用多個平方和表示數　340

本章附註　341

第　21 章用立方數以及更高次冪表示數　343

21.1　四次冪　343

21.2　三次冪：G(3) 和g(3) 的存在性　344

21.3　g(3) 的界　345

21.4　更高次冪　346

21.5　g(k) 的一個下界　347

21.6　G(k) 的下界　348

21.7　受符號影響的和：數v(k)　351

21.8　v(k) 的上界　352

21.9　Prouhet-Tarry 問題：數P(k, j)　354

21.10　對特殊的k 和j 計算P(k, j)　356

21.11　Diophantus 分析的進一步的問題　358

本章附註　361

第　22 章素數(3)　368

22.1　函數 (x) 和ψ(x)　368

22.2　(x) 和ψ(x) 的階為x 的證明　369

22.3　Bertrand 假設和一個關於素數的“公式”　371

22.4　定理7 和定理9 的證明　374

22.5　兩個形式變換　375

22.6　一個重要的和　376

22.7　Σp 1 與Π(1 p 1)　378

22.8　Mertens 定理　380

22.9　定理323 和定理328 的

證明　382

22.10　n 的素因子個數　383

22.11　ω(n) 和Ω(n) 的正規階　385

22.12　關於圓整數的一個註解　387

22.13　d(n) 的正規階　388

22.14　Selberg 定理　388

22.15　函數R(x) 和V (ξ)　390

22.16　完成定理434、定理6 和定理8 的證明　394

22.17　定理335 的證明　396

22.18　k 個素因子的乘積　397

22.19　區間中的素數　399

22.20　關於素數對p, p + 2 的分佈的一個猜想　400

本章附註　402

第　23 章Kronecker 定理　405

23.1　一維的Kronecker 定理　405

23.2　一維定理的證明　406

23.3　反射光線的問題　408

23.4　一般定理的表述　410

23.5　定理的兩種形式　411

23.6　一個例證　413

23.7　Lettenmeyer 給出的定理證明　413

23.8　Estermann 給出的定理證明　415

23.9　Bohr 給出的定理證明　417

23.10　一致分佈　419

本章附註　421

第　24 章數的幾何　422

24.1　基本定理的導引和重新表述　422

24.2　簡單的應用　423

24.3　定理448 的算術證明　425

24.4　最好的可能的不等式　427

24.5　關於ξ2 + η2 的最好可能的不等式　428

24.6　關於|ξη| 的最好可能的不等式　429

24.7　關於非齊次型的一個定理　431

24.8　定理455 的算術證明　433

24.9　Tchebotaref 定理　434

24.10　Minkowski 定理(定理446)的逆定理　436

本章附註　439

第　25 章橢圓曲線　444

25.1　同餘數問題　444

25.2　橢圓曲線的加法法則　445

25.3　定義橢圓曲線的其他方程　450

25.4　有限階點　452

25.5　有理點組成的群　456

25.6　關於模p 的點群　462

25.7　橢圓曲線上的整點　463

25.8　橢圓曲線的L 級數　466

25.9　有限階點與模曲線　469

25.10　橢圓曲線與Fermat 大定理　472

本章附註　474

附錄　479

參考書目　482

特殊符號和術語索引　486

常見人名對照表　489

《哈代數論(第6　版)》補遺　491