線性代數入門

本書為日本東京大學數學教學成果的總結性作品，由時任東京大學理學院院長彌永昌吉教授策劃，教學經驗豐富的齋藤正彥教授執筆創作，是日本久負盛名的線性代數圖書。本書內容結合了東京大學教養學部的線性代數課程實踐，以及東京大學數學系諸多教授的探討與思索。本書內容循序漸進，結構嚴謹，從直觀描述開始，逐步引入形式描述，註重從幾何角度引導讀者理解線性代數的本質，是幫助讀者學習線性代數、加深對線性代數理解的數學教材。

本書適合高中生、大學生和對線性代數感興趣的讀者閱讀。

斋藤正彦（Masahiko Saito）

日本数学家，东京大学荣休教授。毕业于日本东京大学理学部数学系，获法国巴黎大学理学博士学位。在东京大学任职教授期间长年从事数学教学研究与实践，所著《线性代数入门》一书，因其对日本数学教育与科技发展的突出贡献，于2006年获得日本数学会出版奖。另著有《超积与非标准分析》《线性代数练习》《数学的基础——集合、数、拓扑》《群论入门》《微积分学》《数的宇宙》《从日语到符号理论》等。

序

前言

第 1 章平面向量和空間向量 1

1.1 平面向量和空間向量 1

1.2 直線和平面 6

1.3 線性變換：平面上的旋轉與矩陣 12

1.4 三階矩陣和V 3 上的線性變換 17

1.5 行列式和向量積 20

習題 26

第 2 章矩陣 28

2.1 矩陣的定義和計算 28

2.2 方塊矩陣與可逆矩陣 37

2.3 矩陣與線性映射 40

2.4 矩陣的初等變換：秩 41

2.5 線性方程組 49

2.6 內積與酉矩陣、正交矩陣 57

2.7 合同變換 61

習題 65

第3 章行列式 68

3.1 置換 68

3.2 行列式 71

3.3 行列式的展開 79

習題 84

第4 章線性空間 87

4.1 集合與映射 87

4.2 線性空間 90

4.3 基與維數 93

4.4 線性子空間 99

4.5 線性映射與線性變換 104

4.6 度量線性空間 110

習題 117

第5 章特徵值和特徵向量 121

5.1 特徵值與特徵根 121

5.2 酉空間的正規變換 129

5.3 實度量空間的對稱變換 138

5.4 二次型 141

5.5 二次曲線與二次曲面 146

5.6 正交變換與三維空間的旋轉 152

習題 157

第6 章不變因子和若爾當標準形 160

6.1 不變因子 160

6.2 若爾當標準形 . 173

6.3 最小多項式 . 185

習題 189

第7 章向量和矩陣的解析處理 191

7.1 向量值函數和矩陣函數的微積分 191

7.2 矩陣的冪級數 195

7.3 非負矩陣 205

習題 210

附錄1 多項式 212

附錄2 歐幾里得幾何的公理 228

附錄3 群與域的公理 233

後記 240

習題答案 241