計算方法（第4版）

第1章 引論 1
1.1 從數學到計算 1
1.2 誤差理論初步 5
1.2.1 誤差的來源 5
1.2.2 誤差的度量 6
1.2.3 誤差的傳播 9
1.2.4 數值穩定性 11
1.3 數值計算的原則 11
1.3.1 避免兩個相近數相減 12
1.3.2 避免用絕對值過小的數作為除數 12
1.3.3 要防止大數“吃掉”小數 13
1.3.4 簡化計算步驟 13
1.3.5 使用數值穩定的算法 14
本章小結 16
習題1 16
第2章 計算方法的數學基礎 18
2.1 微積分的有關概念和定理 18
2.1.1 數列與函數的極限 18
2.1.2 連續函數的性質 20
2.1.3 羅爾定理和微分中值定理 20
2.1.4 積分加權平均值定理 21
2.2 微分方程的有關概念和定理 22
2.2.1 基本概念 22
2.2.2 初值問題解的存在唯一性 23
2.3 線性代數的有關概念和定理 23
2.3.1 線性相關和線性無關 23
2.3.2 方陣及其初等變換 25
2.3.3 線性方程組解的存在唯一性 27
2.3.4 特殊矩陣 28
2.3.5 方陣的逆及其運算性質 29
2.3.6 矩陣的特徵值及其運算性質 31
2.3.7 對稱正定矩陣 33
2.3.8 對角占優矩陣 34
2.3.9 向量的內積 35
2.3.10 向量、矩陣和連續函數的範數 36
2.3.11 向量序列與矩陣序列的極限 40
本章小結 41
習題2 41
第3章 MATLAB編程基礎 43
3.1 MATLAB簡介 43
3.2 MATLAB R2022b的工作環境 45
3.2.1 工具箱 45
3.2.2 命令行窗口 48
3.2.3 工作區 48
3.2.4 當前文件夾 49
3.3 MATLAB的變量、常量和數據類型 49
3.3.1 常量 49
3.3.2 變量 50
3.3.3 數據類型 50
3.4 MATLAB的數值運算 51
3.4.1 向量運算 51
3.4.2 矩陣運算 53
3.5 MATLAB的符號運算 57
3.5.1 字符串運算 57
3.5.2 符號表達式運算 58
3.5.3 符號矩陣運算 61
3.5.4 符號微積分運算 62
3.5.5 符號方程求解 64
3.6 MATLAB的圖形可視化 65
3.6.1 二維圖形繪制 65
3.6.2 三維圖形繪制 67
3.7 MATLAB程序設計 67
3.7.1 MATLAB的程序控制結構 67
3.7.2 MATLAB文件 70
3.7.3 MATLAB程序調試方法 70
3.8 MATLAB與Python 73
本章小結 73
習題3 73
第4章 方程求根 75
4.1 引言 75
4.2 二分法 76
4.3 迭代法 78
4.3.1 不動點迭代 78
4.3.2 迭代法的收斂性 79
4.4 牛頓迭代法 85
4.4.1 牛頓迭代公式及其幾何意義 85
4.4.2 牛頓迭代公式的收斂性 85
4.5 弦截法 89
4.6 算法實現 90
4.6.1 MATLAB程序實現 90
4.6.2 MATLAB函數實現 92
本章小結 93
習題4 93
第5章 解線性方程組的直接法 96
5.1 引言 96
5.2 高斯消去法 97
5.2.1 順序高斯消去法 97
5.2.2 主元素高斯消去法 101
5.2.3 高斯-約當消去法 103
5.3 矩陣三角分解法 105
5.3.1 高斯消去法與矩陣三角分解法 105
5.3.2 直接三角分解法 106
5.4 解三對角線性方程組的追趕法 109
5.5 誤差分析 112
5.5.1 病態方程組與條件數 112
5.5.2 病態方程組的解法 115
5.6 算法實現 116
5.6.1 MATLAB程序實現 116
5.6.2 MATLAB函數實現 120
本章小結 121
習題5 122
第6章 解線性方程組的迭代法 124
6.1 引言 124
6.2 雅可比迭代法 125
6.3 高斯-塞德爾迭代法 127
6.4 迭代法的收斂性 128
6.5　算法實現 135
6.5.1　MATLAB程序實現 135
6.5.2　MATLAB函數實現 138
本章小結 139
習題6 140
第7章 函數插值 142
7.1 引言 142
7.1.1 插值問題 142
7.1.2 插值多項式的存在唯一性 143
7.2 拉格朗日插值 144
7.2.1 線性插值與拋物插值 144
7.2.2 拉格朗日插值多項式 146
7.2.3 插值餘項與誤差估計 147
7.3 牛頓插值 151
7.4 埃爾米特插值 154
7.5 分段低次插值 156
7.5.1 高次插值與龍格現象 156
7.5.2 分段線性插值 157
7.5.3 分段三次埃爾米特插值 159
7.6 樣條插值 161
7.6.1 三次樣條插值函數 161
7.6.2 三次樣條插值函數的求法 162
7.7 離散數據的曲線擬合 165
7.7.1 曲線擬合問題 165
7.7.2 多項式擬合 166
7.8 算法實現 168
7.8.1 MATLAB程序實現 168
7.8.2 MATLAB函數實現 170
本章小結 173
習題7 174
第8章 數值積分與數值微分 177
8.1 引言 177
8.1.1 數值積分的必要性 177
8.1.2 數值積分的基本思想 178
8.1.3 代數精度 178
8.1.4 插值型求積公式 180
8.2 牛頓-柯特斯求積公式 181
8.2.1 牛頓-柯特斯求積公式的導出 181
8.2.2 牛頓-柯特斯求積公式的誤差估計 184
8.3 復合求積公式 186
8.3.1 復合梯形求積公式 187
8.3.2 復合辛普生求積公式 187
8.4 外推算法與龍貝格算法 190
8.4.1 變步長的求積公式 190
8.4.2 外推算法 191
8.4.3 龍貝格求積公式 192
8.5 數值微分 195
8.5.1 中點公式 195
8.5.2 插值型微分公式 196
8.6 算法實現 197
8.6.1 MATLAB程序實現 197
8.6.2 MATLAB函數實現 200
本章小結 203
習題8 203
第9章 常微分方程初值問題的數值解法 206
9.1 引言 206
9.2 歐拉公式 207
9.2.1 歐拉公式及其意義 207
9.2.2 歐拉公式的變形 208
9.3 單步法的局部截斷誤差和方法的階 211
9.4 龍格-庫塔方法 214
9.4.1 龍格-庫塔方法的基本思想 214
9.4.2 二階龍格-庫塔方法的推導 214
9.4.3 經典四階龍格-庫塔方法 217
9.5 單步法的收斂性和穩定性 219
9.5.1 單步法的收斂性 219
9.5.2 單步法的穩定性 222
9.6 算法實現 224
9.6.1 MATLAB程序實現 224
9.6.2 MATLAB函數實現 226
本章小結 230
習題9 230
附錄A 計算方法實驗 232
實驗1 方程求根 233
實驗2　解線性方程組的直接法 234
實驗3 解三對角線性方程組的追趕法 235
實驗4 解線性方程組的迭代法 236
實驗5 插值問題 237
實驗6 數值積分 238
實驗7 數值微分 239
實驗8 求解常微分方程的初值問題 240
參考文獻 242