數值分析（第2版）

第1章 緒論 1
1.1 引言 1
1.2 誤差 2
1.2.1 誤差來源與分類 2
1.2.2 絕對誤差、相對誤差與有效數字 3
1.3 數值計算算法設計原則 6
習題1 10
第2章 非線性方程與方程組的數值解法 11
2.1 引言 11
2.2 二分法 12
2.3 簡單迭代法 14
2.3.1 簡單迭代法的構造原理 14
2.3.2 迭代法的收斂性 16
2.3.3 局部收斂性與收斂階 18
2.3.4 迭代法的加速技巧 20
2.4 牛頓法及其變形方法 22
2.4.1 牛頓法 22
2.4.2 牛頓法的變形 25
2.5 求解多項式方程 30
2.6 非線性方程組的數值解法 31
2.7 應用案例：機械系統非線性彈簧偏差計算 33
習題2 34
應用題 36
上機實驗 37
第3章 解線性方程組的直接法 38
3.1 引言 38
3.2 高斯消去法 39
3.2.1 高斯消去法的基本思想 39
3.2.2 n元線性方程組的高斯消去法 40
3.3 列主元高斯消去法 44
3.3.1 列主元高斯消去法的思想 44
3.3.2 列主元高斯消去法的操作步驟 45
3.4 直接三角分解法及列主元三角分解法 46
3.4.1 矩陣的三角分解 47
3.4.2 直接三角分解法 48
3.4.3 列主元三角分解法 51
3.5 特殊矩陣的三角分解法 53
3.5.1 對稱矩陣的三角分解法 54
3.5.2 對稱正定矩陣的三角分解法 55
3.5.3 三對角方程組的追趕法 57
3.5.4 循環三對角方程組的追趕法 58
3.6 應用案例：食物營養配餐問題 60
習題3 62
應用題 63
上機實驗 63
第4章 解線性方程組的迭代法 65
4.1 預備知識 65
4.1.1 向量的數量積及其性質 65
4.1.2 向量範數和向量序列的極限 66
4.1.3 矩陣範數和矩陣序列的極限 67
4.1.4 方程組的性態與矩陣的條件數 69
4.2 簡單迭代法 71
4.2.1 簡單迭代法的基本構造 71
4.2.2 迭代法的收斂性 71
4.2.3 迭代法收斂的誤差估計 73
4.3 雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法 73
4.3.1 雅可比迭代法 74
4.3.2 高斯-賽德爾迭代法 76
4.3.3 雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的收斂性 79
4.4 SOR方法 81
4.5 共軛梯度法 83
4.5.1 等價的極值問題 83
4.5.2 最速下降法 84
4.5.3 共軛梯度法求解 86
4.6 應用案例：迭代法在求解偏微分方程中的應用 89
習題4 91
應用題 93
上機實驗 94
第5章 曲線擬合與函數插值 96
5.1 曲線擬合的最小二乘法 96
5.1.1 最小二乘問題 96
5.1.2 最小二乘擬合多項式 98
5.2　插值問題的提出 102
5.3 拉格朗日插值 103
5.3.1 線性插值與二次插值 103
5.3.2 拉格朗日插值多項式 105
5.3.3 插值餘項 106
5.4 差商與牛頓插值 109
5.4.1 差商的定義與性質 109
5.4.2 牛頓插值多項式 110
5.5 差分與等距節點插值 112
5.5.1 差分的定義與性質 112
5.5.2 等距節點插值多項式 113
5.6 埃爾米特插值 115
5.7 分段低次多項式插值 118
5.7.1 高次插值多項式的龍格現象 118
5.7.2 分段線性插值 119
5.7.3 分段三次埃爾米特插值 119
5.8 三次樣條插值 120
5.8.1 三次樣條插值函數 120
5.8.2 三次樣條插值函數的求解 121
5.9 應用案例：應用三次樣條插值函數實現曲線擬合 124
習題5 126
應用題 128
上機實驗 129
第6章 數值微積分 131
6.1　數值積分的基本概念 131
6.1.1　求積公式與代數精度 131
6.1.2　插值型求積公式 132
6.2　牛頓-柯特斯公式 133
6.2.1　牛頓-柯特斯系數及常用求積公式 133
6.2.2　誤差估計 136
6.2.3　收斂性與穩定性 137
6.2.4　復化求積公式 137
6.3　龍貝格算法 140
6.3.1　變步長梯形求積算法 140
6.3.2　理查森外推算法 141
6.3.3　龍貝格求積公式 143
6.4　高斯型求積公式 145
6.4.1　求積公式的最高代數精度 145
6.4.2　正交多項式 146
6.4.3　高斯型求積公式的一般理論 147
6.4.4　高斯-勒讓德求積公式 149
6.5　數值微分 150
6.5.1　中點方法 150
6.5.2　插值型求導公式 152
6.6 應用案例：衛星軌道長度計算問題 154
習題6 155
應用題 157
上機實驗 158
第7章 常微分方程的數值解法 159
7.1 引言 159
7.2 簡單數值計算方法 160
7.2.1 歐拉法 160
7.2.2 隱式歐拉法 162
7.2.3 梯形法 163
7.2.4 改進歐拉法 164
7.3 龍格-庫塔方法 166
7.3.1 龍格-庫塔方法的基本思想 166
7.3.2 二階龍格-庫塔公式 166
7.3.3 三階龍格-庫塔公式 167
7.3.4 四階龍格-庫塔公式 168
7.4 線性多步法 169
7.4.1 線性多步法的基本思想 169
7.4.2 基於數值積分的方法 170
7.4.3 阿當姆斯顯式公式與隱式公式 170
7.4.4 阿當姆斯預測-校正公式 174
7.5 一階方程組與高階方程 176
7.5.1 一階方程組 176
7.5.2 化高階方程為一階方程組 178
7.6 應用案例：閉電路中電流的計算問題 180
習題7 182
應用題 183
上機實驗 184
第8章 矩陣的特徵值問題 186
8.1 冪法和反冪法 186
8.1.1 冪法 186
8.1.2 冪法的加速技巧 190
8.1.3 反冪法 192
8.2 雅可比方法 194
8.2.1 平面旋轉矩陣 194
8.2.2 雅可比方法的實現過程 196
8.3 QR方法 198
8.3.1 正交相似變換 198
8.3.2 矩陣的QR分解 200
8.3.3 QR方法的實現過程 203
8.4 二分法 204
8.4.1 特徵多項式序列及其性質 204
8.4.2 二分法的實現過程 206
8.5 應用案例：互聯網頁面等級計算問題 208
習題8 209
應用題 210
上機實驗 211
參考文獻 213