應用數值分析

本書系統地介紹了科學與工程計算中常用的數值計算方法及有關理論分析和應用,力求內容完整和算法實用。內容包括數值線性代數,非線性方程(組)數值解法,矩陣特徵值問題,數值逼近,數值微分和數值積分,微分方程數值求解。對於每種常用的數值解法,不僅給出具體步驟,而且還給出了MATLAB程序,便於讀者調用。

目錄

第1章緒論11.1算法1

1.1.1算法的表述形式1

1.1.2算法的基本特點1

1.2誤差4

1.2.1誤差的來源4

1.2.2誤差的基本概念4

1.2.3誤差的分析方法5

1.3數值計算時應註意的問題6

1.3.1避免相近數作減法運算6

1.3.2避免分式中分母的絕對值遠小於分子的絕對值6

1.3.3防止大數“吃掉”小數6

1.3.4簡化計算量7

1.3.5病態問題和算法的穩定性7

1.4小結8

1.5習題9

1.6數值實驗題9

第2章MATLAB軟件與數值計算112.1MATLAB的進入與運行方式11

2.1.1MATLAB的進入與界面11

2.1.2MATLAB的運行方式12

2.2變量與函數12

2.2.1變量12

2.2.2基本運算與函數13

2.2.3函數15

2.2.4函數的遞歸調用16

2.3矩陣與數組16

2.3.1數組17

2.3.2矩陣19

2.3.3常用的矩陣函數21

2.4MATLAB程序設計23

2.4.1關系和邏輯運算23

2.4.2控制流24

2.5MATLAB的繪圖功能27

2.5.1二維圖形27

2.5.2三維圖形28

2.6MATLAB中常用函數介紹30

2.7習題33目錄目錄

第3章線性方程組的直接解法343.1引言34

3.2高斯消元法34

3.2.1高斯消元法的基本思想34

3.2.2高斯消元法公式35

3.2.3高斯消元法的條件37

3.3高斯主元素法37

3.3.1列主元消元法38

3.3.2高斯全主元消元法40

3.4矩陣的LU分解40

3.4.1杜利特爾分解42

3.4.2克勞特分解44

3.5平方根法45

3.5.1矩陣的LDU分解45

3.5.2楚列斯基分解45

3.5.3平方根法和改進的平方根法46

3.6追趕法49

3.7範數與矩陣的條件數51

3.7.1範數51

3.7.2矩陣的條件數與誤差分析54

3.7.3線性方程組近似解可靠性的判別56

3.8小結57

3.9習題57

3.10數值實驗題358

應用案例: 生產計劃的安排58

應用案例: 運輸定價問題59

第4章線性方程組的迭代解法614.1迭代法的一般形式61

4.2幾種常用的迭代公式61

4.2.1雅可比方法62

4.2.2高斯—塞德爾迭代法64

4.2.3逐次超鬆弛法65

4.3迭代法的收斂條件67

4.4小結71

4.5習題72

4.6數值實驗題73

應用案例: 薄板的熱傳導74

第5章方陣特徵值和特徵向量755.1冪法與反冪法75

5.1.1冪法75

5.1.2改進的冪法77

5.1.3反冪法79

5.2雅可比方法81

5.2.1平面旋轉矩陣82

5.2.2n階實對稱矩陣的對角化82

5.2.3經典的雅可比方法83

5.2.4雅可比過關法85

5.3豪斯霍爾德方法86

5.3.1豪斯霍爾德變換86

5.3.2用豪斯霍爾德矩陣作正交變換約化矩陣87

5.4QR方法94

5.4.1矩陣的正交三角分解94

5.4.2QR方法95

5.5小結100

5.6習題100

5.7數值實驗題101

應用案例: 彈簧—重物系統的頻率計算101

第6章非線性方程（組）的求根1036.1二分法103

6.2迭代法106

6.2.1迭代法的收斂性108

6.2.2收斂速度109

6.3常用的迭代方法110

6.3.1牛頓法110

6.3.2簡化牛頓法112

6.3.3牛頓下山法113

6.3.4割線法114

6.4非線性方程組的求根116

6.4.1解非線性方程組的一般迭代法116

6.4.2解非線性方程組的高斯—塞德爾迭代法117

6.4.3解非線性方程組的牛頓法118

6.5小結120

6.6習題121

6.7數值實驗題122

應用案例: 空中電纜長度的計算122

第7章插值法1237.1插值問題123

7.1.1插值的基本概念123

7.1.2插值多項式的存在唯一性124

7.2拉格朗日插值124

7.2.1拉格朗日插值多項式124

7.2.2插值餘項125

7.3牛頓插值128

7.3.1差商及其性質128

7.3.2牛頓插值多項式129

7.4埃爾米特插值134

7.5分段插值139

7.5.1龍格振盪現象139

7.5.2插值多項式數值計算的穩定性140

7.5.3分段線性插值140

7.5.4分段三次埃爾米特插值141

7.6樣條插值143

7.6.1樣條插值的基本概念144

7.6.2三彎矩插值法144

7.6.3三轉角插值法147

7.7小結151

7.8習題152

7.9數值實驗題152

應用案例: 黃河小浪底調水調沙問題(一)153

第8章函數逼近與曲線擬合1568.1逼近的概念156

8.2最佳一致逼近158

8.2.1一致逼近多項式的存在性158

8.2.2切比雪夫定理158

8.2.3最佳一次逼近多項式161

8.3最佳平方逼近161

8.3.1函數的最佳平方逼近161

8.3.2最佳平方逼近多項式162

8.3.3以正交函數族作最佳平方逼近165

8.4正交多項式及性質166

8.4.1正交多項式166

8.4.2正交多項式的性質167

8.4.3常見的正交多項式168

8.4.4用正交多項式作最佳平方逼近169

8.5數據擬合與最小二乘法170

8.5.1問題的提出170

8.5.2一元函數的最小二乘法170

8.5.3多元函數的最小二乘法172

8.6多項式擬合172

8.6.1多項式的數據擬合172

8.6.2最小二乘法求法方程存在的問題177

8.6.3正交多項式的數據擬合177

8.7小結179

8.8習題180

8.9數值實驗題180

應用案例: 黃河小浪底調水調沙問題(二)181

第9章數值積分與數值微分1849.1數值積分概述184

9.1.1數值積分的基本思想184

9.1.2代數精度185

9.1.3插值型求積公式186

9.1.4求積公式的餘項187

9.1.5求積公式的收斂性與穩定性188

9.2牛頓—柯特斯求積公式188

9.2.1牛頓—柯特斯公式188

9.2.2牛頓—柯特斯公式的代數精度190

9.3復化求積法191

9.3.1復化梯形公式191

9.3.2復化辛普森公式192

9.4龍貝格加速收斂法194

9.4.1理查森外推法194

9.4.2龍貝格求積公式196

9.5高斯求積公式198

9.5.1高斯求積公式及其性質199

9.5.2常見的高斯求積公式201

9.6數值微分206

9.6.1中點方法與誤差分析206

9.6.2插值型的求導公式207

9.6.3數值微分的外推算法210

9.7小結211

9.8習題211

9.9數值實驗題212

第10章常微分方程數值解法21310.1基本概念213

10.1.1常微分方程初值問題的一般提法213

10.1.2初值問題數值解基本概念215

10.2歐拉法216

10.2.1歐拉法的一般形式216

10.2.2歐拉法的幾何意義217

10.2.3歐拉法的改進217

10.3龍格—庫塔法220

10.3.1龍格—庫塔法的一般形式220

10.3.2常用的低階龍格—庫塔法221

10.3.3步長的選取224

10.4收斂性和穩定性225

10.4.1收斂性225

10.4.2穩定性225

10.5線性多步法227

10.5.1線性多步法的一般公式227

10.5.2亞當斯方法228

10.6一階微分方程組和高階微分方程231

10.6.1一階線性微分方程組231

10.6.2高階微分方程233

10.7小結234

10.8習題235

10.9數值實驗題236

應用案例: 放射性廢物的處理236

應用案例: 重裝空投問題239

參考文獻241