實分析（原書第4版）

譯者序
前言
第一部分　一元實變量函數的Lebesgue積分
第0章　集合、映射與關系的預備知識2
　0.1　集合的並與交2
　0.2　集合間的映射3
　0.3　等價關系、選擇公理以及Zorn引理3
第1章　實數集：集合、序列與函數6
　1.1　域、正性以及完備性公理6
　1.2　自然數與有理數9
　1.3　可數集與不可數集11
　1.4　實數的開集、閉集和Borel集13
　1.5　實數序列17
　1.6　實變量的連續實值函數21
第2章　Lebesgue測度25
　2.1　引言25
　2.2　Lebesgue外測度26
　2.3　Lebesgue可測集的σ代數29
　2.4　Lebesgue可測集的外逼近和內逼近33
　2.5　可數可加性、連續性以及Borel-Cantelli引理36
　2.6　不可測集39
　2.7　Cantor集和Cantor-Lebesgue函數41
第3章　Lebesgue可測函數45
　3.1　和、積與覆合45
　3.2　序列的逐點極限與簡單逼近49
　3.3　Littlewood的三個原理、Egoroff定理以及Lusin定理53
第4章　Lebesgue積分56
　4.1　Riemann積分56
　4.2　有限測度集上的有界可測函數的Lebesgue積分58
　4.3　非負可測函數的Lebesgue積分65
　4.4　一般的Lebesgue積分71
　4.5　積分的可數可加性與連續性75
　4.6　一致可積性：Vitali收斂定理77
第5章　Lebesgue積分：深入課題81
　5.1　一致可積性和緊性：一般的Vitali收斂定理81
　5.2　依測度收斂83
　5.3　Riemann可積與Lebesgue可積的刻畫85
第6章　微分與積分89
　6.1　單調函數的連續性89
　6.2　單調函數的可微性：Lebesgue定理91
　6.3　有界變差函數：Jordan定理96
　6.4　絕對連續函數99
　6.5　導數的積分：微分不定積分103
　6.6　凸函數108
第7章　Lp空間：完備性與逼近112
　7.1　賦範線性空間112
　7.2　Young、Hlder與Minkowski不等式115
　7.3　Lp是完備的：Riesz-Fischer定理119
　7.4　逼近與可分性124
第8章　Lp空間：對偶與弱收斂128
　8.1　關於Lp（1≤p＜∞）的對偶的Riesz表示定理128
　8.2　Lp中的弱序列收斂134
　8.3　弱序列緊性141
　8.4　凸泛函的最小化144
第二部分　抽象空間：度量空間、拓撲空間、Banach空間和Hilbert空間
第9章　度量空間：一般性質152
　9.1　度量空間的例子152
　9.2　開集、閉集以及收斂序列155
　9.3　度量空間之間的連續映射158
　9.4　完備度量空間160
　9.5　緊度量空間164
　9.6　可分度量空間169
第10章　度量空間：三個基本定理171
　10.1　Arzel-Ascoli定理171
　10.2　Baire範疇定理175
　10.3　Banach壓縮原理178
第11章　拓撲空間：一般性質183
　11.1　開集、閉集、基和子基183
　11.2　分離性質186
　11.3　可數性與可分性188
　11.4　拓撲空間之間的連續映射189
　11.5　緊拓撲空間192
　11.6　連通的拓撲空間195
第12章　拓撲空間：三個基本定理197
　12.1　Urysohn引理和Tietze延拓定理197
　12.2　Tychonoff乘積定理201
　12.3　Stone-Weierstrass定理204
第13章　Banach空間之間的連續線性算子209
　13.1　賦範線性空間209
　13.2　線性算子211
　13.3　緊性喪失：無窮維賦範線性空間214
　13.4　開映射與閉圖像定理217
　13.5　一致有界原理222
第14章　賦範線性空間的對偶224
　14.1　線性泛函、有界線性泛函以及弱拓撲224
　14.2　Hahn-Banach定理229
　14.3　自反Banach空間與弱序列收斂性234
　14.4　局部凸拓撲向量空間237
　14.5　凸集的分離與Ｍazur定理240
　14.6　Krein-Milman定理244
第15章　重新得到緊性：弱拓撲247
　15.1　Helly定理的Alaoglu推廣247
　15.2　自反性與弱緊性：Kakutani定理249
　15.3　緊性與弱序列緊性：Eberlein-mulian定理250
　15.4　弱拓撲的度量化252
第16章　Hilbert空間上的連續線性算子255
　16.1　內積和正交性255
　16.2　對偶空間和弱序列收斂259
　16.3　Bessel不等式與規範正交基261
　16.4　線性算子的伴隨與對稱性264
　16.5　緊算子268
　16.6　Hilbert-Schmidt定理270
　16.7　Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻畫273
第三部分　測度與積分：一般理論
第17章　一般測度空間：性質與構造280
　17.1　測度與可測集280
　17.2　帶號測度：Hahn與Jordan分解284
　17.3　外測度誘導的Carathéodory測度288
　17.4　外測度的構造291
　17.5　將預測度延拓為測度：Carathéodory-Hahn定理293
第18章　一般測度空間上的積分299
　18.1　可測函數299
　18.2　非負可測函數的積分304
　18.3　一般可測函數的積分310
　18.4　Radon-Nikodym定理317
　18.5　Nikodym度量空間：Vitali-Hahn-Saks定理323
第19章　一般的Lp空間：完備性、對偶性和弱收斂性328
　19.1　Lp(X,μ)（１≤ｐ≤∞）的完備性328
　19.2　關於Lp(X,μ)（1≤ｐ<∞）的對偶的Riesz表示定理333
　19.3　關於L∞(X,μ)的對偶的Kantorovitch表示定理336
　19.4　Lp(X,μ)（１＜ｐ＜∞）的弱序列緊性339
　19.5　L1(X,μ)的弱序列緊性：Dunford-Pettis定理341
第20章　特定測度的構造346
　20.1　乘積測度：Fubini與Tonelli定理346
　20.2　歐氏空間Rn上的Ｌebesgue測度354
　20.3　累積分布函數與Borel測度364
　20.4　度量空間上的Carathéodory外測度與Hausdorff測度367
第21章　測度與拓撲372
　21.1　局部緊拓撲空間372
　21.2　集合分離與函數延拓376
　21.3　Radon測度的構造378
　21.4　Cc(X)上的正線性泛函的表示：Riesz-Markov定理381
　21.5　C（X）的對偶的表示：Riesz-Kakutani表示定理385
　21.6　Baire測度的正則性391
第22章　不變測度397
　22.1　拓撲群：一般線性群397
　22.2　Kakutani不動點定理399
　22.3　緊群上的不變Borel測度：von Neumann定理403
　22.4　測度保持變換與遍歷性：Bogoliubov-Krilov定理406
參考文獻412
索引414