從零開始讀懂線性代數

唐舜，首都師範大學教授，2011年在法國巴黎第十一大學取得數學博士學位，隨後在德國馬克斯-普朗克數學研究所從事博士後研究工作，曾在有近200年歷史的國際著名數學期刊《克雷爾雜誌》和《倫敦數學會進展》獨立發表學術論文，擔任美國數學會《數學評論》和德國《數學文摘》評論員。 擔任中國科協和教育部“英才計劃”以及北京青少年科技俱樂部指導教師，曾指導中學生獲得北京市青少年科技創新大賽二等獎。所講授的《解析幾何》課程B站播放量超過22萬；撰寫的“知乎”數學科普專欄閱讀總量超過60萬，訂閱人數超過4200。

第1篇 坐標：揭開線性代數的神秘面紗
第1章 向量的表示與運算
1.1 認識向量
1.2 向量的分解與線性表示
1.3 三維空間的向量
第2章 線性空間和維數
2.1 歐氏空間中的運算
2.2 線性空間的大小
2.3 什麼是維數
2.4 基——線性空間的骨架
第3章 從幾何的角度認識行列式
3.1 平行四邊形的有向面積
3.2 有向面積與向量數乘的關系
3.3 有向面積與向量加法的關系
3.4 二階行列式
第4章 高階行列式的由來
4.1 三維空間的定向
4.2 有向體積與三階行列式
4.3 高階行列式的公理化定義
第5章 克拉默法則
5.1 反解線性系統
5.2 克拉默法則的表述
5.3 克拉默法則的證明
第6章 行列式的計算覆雜度
6.1 行列式顯示計算公式的計算覆雜度
6.2 行列式按列（行）展開的計算覆雜度
6.3 消元法的計算覆雜度
第7章 範德蒙德行列式
7.1 可變成本預測
7.2 範德蒙德行列式與多項式插值
7.3 範德蒙德行列式的計算
第2篇 矩陣：踏入線性代數的核心領地
第8章 矩陣的概念和例子
8.1 線性方程組中的矩陣
8.2 關聯矩陣——疫情流調
8.3 樣本矩陣——美食點評
8.4 歐氏空間的線性映射
第9章 矩陣的運算
9.1 線性映射的運算
9.2 實矩陣的運算
9.3 豐富多彩的矩陣乘法
第10章 矩陣的轉置與行列式
10.1 矩陣的轉置
10.2 方陣的行列式
10.3 伴隨矩陣
第11章 可逆矩陣
11.1 矩陣的逆
11.2 矩陣求逆與方程組求解
11.3 熱平衡網格
第12章 矩陣分塊——矩陣計算加速器
12.1 分塊矩陣的加法和數乘
12.2 分塊矩陣的乘法與轉置
12.3 案例回顧：成分分析
12.4 分塊矩陣的實際應用
第13章 矩陣的初等變換和初等矩陣
13.1 初等行變換與行階梯形矩陣
13.2 初等矩陣
13.3 初等矩陣的性質
第14章 矩陣秩的三張面孔
14.1 行最簡形矩陣的非零行個數
14.2 非零子式的最高階數
14.3 線性無關行向量的最大個數
第15章 低秩矩陣
15.1 電影評分
15.2 電影屬性矩陣和用戶偏好矩陣
15.3 如何分析樣本的關聯性
15.4 評分矩陣的建模
15.5 預測缺失的評分
第16章 線性方程組解的結構
16.1 齊次線性方程組
16.2 非齊次線性方程組
第3篇 映射：扭轉線性代數的虛空之門
第17章 線性空間和線性映射
17.1 空間的封閉性
17.2 重新理解矩陣與向量的乘積
17.3 線性映射
第18章 線性方程組的線性空間視角
18.1 列空間
18.2 列空間的基與維數
18.3 零空間
18.4 轉置矩陣的列空間和零空間
第19章 圖與線性代數
19.1 圖的數學模型
19.2 圖矩陣的零空間
19.3 基爾霍夫定律
19.4 圖轉置矩陣的零空間
19.5 線性代數基本定理與歐拉公式
19.6 電路求解
第20章 最小二乘法與正交投影
20.1 發現谷神星
20.2 線性最小二乘法
20.3 正交
20.4 正交投影
第21章 標準正交基
21.1 可逆矩陣與歐氏空間的基
21.2 標準正交基的優點
21.3 小波基
21.4 正交矩陣
21.5 Gram-Schmidt正交化
第22章 基變換
22.1 坐標變換
22.2 過渡矩陣和坐標變換公式
22.3 正交基變換與正交矩陣
22.4 應用案例：文物數字孿生
第23章 特征值與特征向量
23.1 定義與計算
23.2 幾何意義
23.3 斐波那契數列
第24章 相似對角化
24.1 矩陣的冪
24.2 矩陣的指數函數
24.3 不能對角化的矩陣
第25章 馬爾可夫矩陣
25.1 馬爾可夫過程與馬爾可夫矩陣
25.2 平穩分布
25.3 PageRank算法
第26章 實對稱矩陣
26.1 實際問題中的對稱矩陣
26.2 實對稱矩陣的對角化
26.3 譜分解
第27章 二次型
27.1 齊次二次曲線與二次型
27.2 齊次二次曲線的分類
27.3 齊次二次曲面
第28章 正定矩陣
28.1 正定與半正定
28.2 物理系統與正定矩陣
28.3 再看Gram矩陣
28.4 極值問題
第29章 奇異值分解
29.1 奇異值分解的幾何意義
29.2 如何計算奇異值分解
29.3 計算案例
29.4 應用案例：圖像數據壓縮
第4篇 升維：開啟線性代數的進階之路
第30章 線性空間萬花筒
30.1 線性空間概念回顧
30.2 線性空間的例子
30.3 非線性空間的例子
第31章 線性空間的同構
31.1 一般線性空間之間的線性映射
31.2 什麼是線性空間的同構
31.3 同構定理
31.4 同構的線性空間舉例
第32章 無限維線性空間
32.1 無限維線性空間的