線性代數（原書第6版·中文版）
[美]吉爾伯特·斯特朗（Gilbert Strang）著 劉余 黃曄輝 楊晶 譯
- 出版商: 清華大學
- 出版日期: 2026-03-01
- 售價: $828
- 語言: 簡體中文
- 頁數: 542
- ISBN: 7302711658
- ISBN-13: 9787302711650
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相關分類:
線性代數 Linear-algebra
- 此書翻譯自: Introduction to Linear Algebra, 6/e (Hardcover)
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商品描述
"《線性代數》（原書第6版·中文版）由麻省理工大學科學計算和信號處理領域教授Gilbert Strang所著，以線性方程組為核心框架，將抽象概念（如向量空間、特征值）與實際應用（如網絡圖、機器學習）結合，被MIT等600余所高校采用。2022年修訂後推出了第6版。修訂後的第6版修改了對線性代數應用的闡述，從傳統應用領域轉向了更與時俱進的**化問題以及機器學習；力圖把線性代數的理論和時代前沿脈搏相連通。 本書概念清楚，層次合理，實用性強，可以作為普通高等學校線性代數的本科生入門教材，也可以作為對線性代數的實際引用感興趣的工程師的書案參考資料。"
作者簡介
"吉爾伯特·斯特朗（Gilbert Strang）麻省理工學院數學系教授，美國國家科學院院士，享有盛譽的數學家、教育家。在麻省理工學院執教60余年，擔任“線性代數導論”“計算科學與工程”等公開課程主講人，相關視頻公開課程全球累計播放量達數千萬次。曾擔任美國數學聯合政策委員會主席、美國國家數學委員會主席、美國國家科學基金會數學顧問小組主席、國際工業與應用數學理事會理事、阿貝爾獎委員會委員等重要學術職務。作為全球數學界的著名學者，他在有限元理論、變分法、小波分析和線性代數等領域成就斐然，出版數學教材和學術專著10余部，對現代數學及其教育發展影響深遠。"
目錄大綱
目錄
CONTENTS
第 1章向量和矩陣 .............................................................................................................1
1.1向量及其線性組合....................................................................................................2
1.1.1線性組合 cv + dw .........................................................................................3
1.1.2求解二元方程組.............................................................................................4
1.1.3消元法會失效嗎.............................................................................................4
1.1.4三維向量的情形.............................................................................................5
1.1.5如何知道這是一個平面？ ...............................................................................6 習題 1.1..........................................................................................................................6
1.2點積、長度和角度....................................................................................................9
1.2.1垂直向量..................................................................................................... 11
1.2.2向量之間的夾角........................................................................................... 13
1.2.3三維空間中的平面 ....................................................................................... 15 習題 1.2........................................................................................................................ 16
1.3矩陣和它們的列空間 .............................................................................................. 19
1.3.1 A的列空間................................................................................................. 22
1.3.2秩 1矩陣 .................................................................................................... 24 習題 1.3........................................................................................................................ 25
1.4 矩陣乘法 AB和 CR ............................................................................................ 28 = BA ................................................................................... 30
1.4.1通常來說 AB .
1.4.2 (AB)C = A(BC)....................................................................................... 30
1.4.3回顧矩陣乘法 AB ....................................................................................... 31
1.4.4秩 1矩陣和 A = CR .................................................................................. 31
1.4.5 C由 A的前 r個線性無關的列組成 ............................................................. 32
1.4.6矩陣乘積 CR.............................................................................................. 32
1.4.7如何找出矩陣 R .......................................................................................... 34
1.4.8 A的列乘以 B的行，C的列乘以 R的行 .................................................... 35 習題 1.4........................................................................................................................ 37
1.5談談第 1章 ........................................................................................................... 39
第 2章解線性方程組 Ax = b ........................................................................................... 41
2.1消元法和回代 ........................................................................................................ 42
2.1.1回代解法
Ux = c ........................................................................................ 43
2.1.2把
A轉化成 U，b轉化成 c ........................................................................ 44
2.
1.3消元法失效的情況 ....................................................................................... 44
2.
1.4線性相關或線性無關的列向量....................................................................... 45
2.
1.5行向量和列向量的圖示................................................................................. 46
2.
1.6消元和置換的例子 ....................................................................................... 46 習題 2.1........................................................................................................................ 47
2.
2初等矩陣和逆矩陣.................................................................................................. 50
2.
2.1和逆矩陣有關的事實 .................................................................................... 51
2.2.2矩陣乘積
AB的逆...................................................................................... 53
2.2.3
L是 E的逆 ............................................................................................... 55 習題 2.2........................................................................................................................ 55
2.3矩陣運算和
LU分解 ............................................................................................. 58
2.
3.1消元法的計算復雜度 .................................................................................... 59
2.3.2證明
LU分解 ............................................................................................. 60
2.3.3偉大的
A = LU分解 .................................................................................. 60
2.3.4
A = LU的第二種證明：將列乘以行 ............................................................ 61
2.
3.5不包含行對換的消元法................................................................................. 62 習題 2.3........................................................................................................................ 62
2.4置換與轉置
............................................................................................................ 65
2.4.1置換
........................................................................................................... 65
2.
4.2置換矩陣的性質........................................................................................... 66
2.4.3
PA = LU分解：P導致行交換 .................................................................. 66
2.
4.4選取“部分主元”以減少舍入誤差 ................................................................ 67
2.4.5
PAQ：P對 A做行交換，Q對 A做列交換 ............................................... 67
2.4.6
A的轉置 .................................................................................................... 68
2.
4.7內積的意義 ................................................................................................. 69
2.4.8對稱矩陣
..................................................................................................... 70
2.4.9對稱乘積
ATA、AAT和 LDLT分解 ......................................................... 71 習題 2.4........................................................................................................................ 72
2.
5導數和有限差分矩陣 .............................................................................................. 75
2.
5.1公式的逆向推導：由差值求導數 ................................................................... 76
2.
5.2二階差分矩陣 K、T、B ............................................................................. 77
2.5.3矩陣
K的性質............................................................................................ 78
2.
5.4一端自由一端固定的矩陣 Tn ........................................................................ 80
2.
5.5兩端自由的矩陣 B是奇異的 ........................................................................ 80 習題 2.5........................................................................................................................ 81
2.6談談第
2章 ........................................................................................................... 83
目錄XI
第 3章矩陣的四個基本子空間........................................................................................... 85
3.
1線性空間及其子空間 .............................................................................................. 86
3.
1.1線性空間的例子........................................................................................... 86
3.
1.2線性空間的子空間 ....................................................................................... 87
3.1.3
A的列空間................................................................................................. 88
3.1.4
A的行空間................................................................................................. 89
3.1.5
A的列向量張成了線性空間 C(A)................................................................. 89 習題 3.1........................................................................................................................ 90
3.2通過消元法
A = CR計算零空間 ........................................................................... 93
3.
2.1利用消元法將 A轉化成 rref(A)：最簡行階梯形矩陣 .................................... 95
3.
2.2逐列消元：從 A到 R0的步驟 ..................................................................... 96
3.2.3矩陣分解
A = CR和零空間 ........................................................................ 97
3.
2.4消元法的終章：分塊消元 ............................................................................100 習題 3.2.......................................................................................................................101
3.3方程組
Ax = b的解集..........................................................................................105
3.3.1方程組的特解 xp : Axp = b.........................................................................106
3.
3.2行滿秩和解集 .............................................................................................108 習題 3.3.......................................................................................................................112
3.
4線性無關性、基、維數 ..........................................................................................117
3.4.1線性無關
....................................................................................................117
3.
4.2張成子空間的向量組 ...................................................................................120
3.
4.3線性空間的基 .............................................................................................120
3.
4.4矩陣空間和函數空間的基 ............................................................................124 習題 3.4.......................................................................................................................126
3.
5四個基本子空間的維數 ..........................................................................................131
3.5.1
R0的四個子空間........................................................................................132
3.5.2
A的四個子空間 .........................................................................................134
3.5.3秩
2矩陣 =秩 1矩陣 +秩 1矩陣..............................................................138 習題 3.5.......................................................................................................................139
3.6談談第
3章：消元法的全局理解 ............................................................................142
第 4章正交性 .................................................................................................................145
4.
1向量和子空間的正交性 ..........................................................................................146 習題 4.1.......................................................................................................................150
4.
2向直線和子空間作正交投影 ...................................................................................153
4.
2.1正交投影到直線..........................................................................................155
4.
2.2正交投影到子空間 ......................................................................................157
習題 4.2.......................................................................................................................162
4.3最小二乘法
...........................................................................................................165
4.
3.1誤差最小化 ................................................................................................166
4.
3.2最小二乘法的全局圖景................................................................................168
4.3.3直線擬合
....................................................................................................169
4.3.4當
A列向量線性相關時求解 x.....................................................................171
4.
3.5拋物線擬合 ................................................................................................172 習題 4.3.......................................................................................................................174
4.
4正交矩陣和格拉姆-施密特正交化 ...........................................................................178
4.
4.1用單位正交基來作正交投影：用 Q代替 A...................................................181
4.4.2格拉姆
-施密特正交化 ..................................................................................182
4.4.3
QR分解 ...................................................................................................184 習題 4.4.......................................................................................................................188
4.5矩陣的廣義逆
.......................................................................................................192
4.5.1
m × n矩陣 A的廣義逆 A+(n × m矩陣) ....................................................193
4.5.2
A的重要作用是把行空間映射成列空間........................................................196
4.5.3
A = CR的廣義逆 A+ = R+C+ .................................................................196
4.
5.4廣義逆的例子—— A是圖的關聯矩陣 ...........................................................197 習題 4.5.......................................................................................................................199
4.6談談第
4章：正交性的巨大成功 ............................................................................199
第 5章行列式 .................................................................................................................201
5.
1三階方陣的行列式和代數余子式.............................................................................201
5.
1.1三階方陣的行列式 ......................................................................................202
5.
1.2代數余子式和 A.1的公式 ..........................................................................204
5.
1.3三對角矩陣 ................................................................................................205 習題 5.1.......................................................................................................................206
5.
2行列式的計算和使用 .............................................................................................208
5.2.1證明式
(5.10).式 (5.13).............................................................................209
5.
2.2克萊姆法則解方程組 Ax = b.......................................................................210
5.
2.3行列式的完全展開式：n!項 ........................................................................211 習題 5.2.......................................................................................................................212
5.
3行列式與面積和體積 .............................................................................................214 習題 5.3.......................................................................................................................217
第 6章特征值和特征向量 ................................................................................................219
6.1初識特征值
Ax = βx............................................................................................219
6.
1.1特征方程：det(A . βI)=0 ........................................................................223
6.
1.2行列式和跡 ................................................................................................225
6.
1.3虛數特征值 ................................................................................................226
6.1.4
AB和 A + B的特征值 .............................................................................227
6.1.5
MATLAB中的 Eigshow函數......................................................................230 習題 6.1.......................................................................................................................231
6.2矩陣的對角化
.......................................................................................................235
6.
2.1相似矩陣：特征值相同................................................................................239
6.
2.2斐波那契數列 .............................................................................................241
6.2.3矩陣方冪
Ak ..............................................................................................242
6.
2.4不可對角化的矩陣（選講） .........................................................................243 習題 6.2.......................................................................................................................246
6.3對稱正定矩陣
.......................................................................................................251
6.
3.1快速證明：正交的特征向量和實特征值 ........................................................251
6.3.2正定矩陣
....................................................................................................252
6.
3.3順序主子式判據和主元判據 .........................................................................254
6.
3.4正定矩陣和極小值問題................................................................................257
6.
3.5半正定矩陣 ................................................................................................258
6.3.6橢圓
ax2 +2bxy + cy2 =1...........................................................................259
6.
3.7最優化和機器學習 ......................................................................................260
6.
3.8實對稱矩陣都可以正交對角化......................................................................261 習題 6.3.......................................................................................................................262
6.
4復數、復向量和復矩陣 ..........................................................................................267
6.
4.1復向量：長度 ∥v∥和內積 vˉTw ...................................................................269
6.4.2復矩陣
A及其共軛轉置 AˉT ........................................................................269
6.4.3復矩陣
A的四個基本子空間 .......................................................................269
6.4.4
SˉT = S：實特征值和酉正交的特征向量 .......................................................270
6.4.5置換矩陣
P的復特征值和特征向量 .............................................................270
6.
4.6所有循環矩陣 C有相同的傅裏葉特征向量 ...................................................272
6.
4.7快速傅裏葉變換..........................................................................................272
6.
4.8循環矩陣相乘 CD = DC ...........................................................................273
6.
4.9信號處理中的卷積 ......................................................................................274 習題 6.4.......................................................................................................................274
6.
5解線性微分方程 ....................................................................................................275
6.5.1
du/dt = Au的解.......................................................................................276
6.
5.2二階微分方程 .............................................................................................278
6.5.3差分方程
....................................................................................................280
6.
5.4二階方陣的穩定性 ......................................................................................282
6.
5.5矩陣的指數函數..........................................................................................282 習題 6.5.......................................................................................................................286
6.6用
QR計算特征值 ...............................................................................................290
6.7談談微分方程
.......................................................................................................292
目錄XIII
第 7章奇異值分解 ..........................................................................................................293
7.
1奇異值和奇異向量.................................................................................................293
7.
1.1奇異值分解的幾何意義................................................................................294
7.
1.2奇異值分解的完整型 ...................................................................................295
7.
1.3奇異值分解的簡化型 ...................................................................................296
7.
1.4奇異值分解的證明 ......................................................................................296
7.1.5
AB和 BA：相同的非零特征值..................................................................298
7.1.6
2 × 2矩陣的奇異向量 .................................................................................299
7.
1.7第一個奇異向量 v1 .....................................................................................299
7.
1.8計算特征值和奇異值 ...................................................................................300 習題 7.1.......................................................................................................................301
7.
2通過線性代數來做圖像處理 ...................................................................................303
7.2.1對角矩陣的奇異值 ......................................................................................304
7.
2.2利用奇異值分解進行圖像壓縮......................................................................305 習題 7.2.......................................................................................................................306
7.3主成分分析
...........................................................................................................307
7.3.1埃克哈特
-揚定理 .......................................................................................308
7.
3.2通過奇異值分解進行主成分分析 ..................................................................309
7.
3.3主成分分析背後的幾何意義 .........................................................................309
7.3.4埃克哈特
-揚定理的幾何意義 ........................................................................310
7.
3.5主成分分析背後的統計學原理......................................................................310
7.
3.6主成分分析背後的線性代數 .........................................................................311 習題 7.3.......................................................................................................................312
第 8章線性映射..............................................................................................................313
8.
1線性映射的概念 ....................................................................................................313
8.
1.1直線到直線，三角形到三角形......................................................................315
8.
1.2微積分中的線性映射 ...................................................................................316
8.
1.3映射的例子（多數是線性的）......................................................................317 習題 8.1.......................................................................................................................319
8.
2線性映射的矩陣 ....................................................................................................322
8.
2.1基變換：矩陣 B .........................................................................................323
8.
2.2構造線性映射 T的矩陣 ..............................................................................324
8.2.3矩陣乘積
AB與映射復合 TS相對應 ..........................................................326
8.
2.4選擇最好的基 .............................................................................................326 習題 8.2.......................................................................................................................328
8.3尋找好的基
...........................................................................................................331
8.
3.1若爾當標準形 .............................................................................................333
8.
3.2函數空間的基 .............................................................................................335
8.
3.3函數空間的正交基 ......................................................................................336
8.
3.4勒讓德多項式和切比雪夫多項式 ..................................................................336 習題 8.3.......................................................................................................................337
目錄XV
第 9章最優化中的線性代數 .............................................................................................339
9.
1多變量函數的最小化問題.......................................................................................339
9.1.1梯度下降
=最速下降..................................................................................341
9.1.2
n =1時一元函數 f(x)的一階導數..............................................................341
9.1.3梯度向量
.F的幾何意義 ...........................................................................344
9.
1.4一個重要的“之字形”示例 .........................................................................345
9.
1.5動量與重球的路徑 ......................................................................................346
9.1.6二次模型
....................................................................................................347 習題 9.1.......................................................................................................................348
9.
2反向傳播和隨機梯度下降.......................................................................................349
9.
2.1多變量鏈式法則..........................................................................................350
9.
2.2隨機梯度下降 .............................................................................................350
9.
2.3普通最小二乘的 SGD..................................................................................351
9.
2.4反向傳播的核心思想 ...................................................................................351
9.2.5
Keras與 TensorFlow中的反向傳播 .............................................................353
9.2.6
Av + b的導數 ...........................................................................................353
9.
2.7隱藏層的偏導數..........................................................................................354
9.2.8偏導數
σw/σA1的細節 ..............................................................................354 習題 9.2.......................................................................................................................355
9.
3約束條件、拉格朗日乘子與最小範數 ......................................................................356
9.
3.1拉格朗日乘數法——成本函數的偏導數 ........................................................357
9.
3.2極大值的極小值 =極小值的極大值..............................................................359
9.
3.3二次規劃：一般情形 ...................................................................................360
9.
3.4不等式約束 ................................................................................................361
9.
3.5科學與工程中的對偶問題 ............................................................................362 習題 9.3.......................................................................................................................363
9.
4線性規劃、博弈論和對偶.......................................................................................364
9.4.1線性規劃
....................................................................................................364
9.4.2在線示例
....................................................................................................365
9.4.3最大流
-最小割 ............................................................................................365
9.4.4二人博弈
....................................................................................................366
9.4.5半定規劃
....................................................................................................368 習題 9.4.......................................................................................................................368
第 10章數據學習............................................................................................................370
10.
1分段線性學習函數 ...............................................................................................371
10.
1.1深度神經網絡的構建................................................................................373
10.1.2
Fk是 vk.1的分段線性函數 .....................................................................373
10.
1.3一個中間層（L =2）的情況 ....................................................................374
10.
1.4學習函數 F (v)的圖像.............................................................................375
10.
1.5計算學習函數圖像的平坦分塊個數：一個中間層的情形..............................376
10.
1.6計算學習函數圖像的平坦分塊個數：更多中間層的情形..............................377
10.1.7移除
.......................................................................................................378 習題 10.1 .....................................................................................................................378
10.2發明和實驗
.........................................................................................................379
10.
2.1泛化與雙重下降 ......................................................................................380
10.
2.2卷積神經網絡：權重共享 .........................................................................381
10.
2.3最大池化 ................................................................................................381
10.
2.4深度學習領域的四大重要成就 ..................................................................382 習題 10.2 .....................................................................................................................382
10.
3均值、方差和協方差............................................................................................383
10.3.1方差
.......................................................................................................384
10.
3.2連續概率分布..........................................................................................385
10.3.3
p(x)的均值和方差 ..................................................................................386
10.
3.4正態分布：鐘形曲線................................................................................387
10.
3.5均值和方差：投擲 N次硬幣，以及 N ～.的漸進行為 ...........................388
10.
3.6協方差矩陣和聯合概率 ............................................................................390
10.
3.7協方差矩陣 V的半正定性 .......................................................................392
10.3.8
Z = AX的協方差矩陣 ...........................................................................393
10.3.9相關性
δ.................................................................................................394 習題 10.3 .....................................................................................................................394
10.
4深度學習的成功引發的思考..................................................................................395
附錄 A...............................................................................................................................397
