數值分析
黃光鑫等
- 出版商: 科學出版
- 出版日期: 2024-06-01
- 定價: $414
- 售價: 8.5 折 $352
- 語言: 簡體中文
- 頁數: 303
- ISBN: 7030778006
- ISBN-13: 9787030778000
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數值分析 Numerical-analysis
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商品描述
本書介紹現代科學與工程計算中常見的數值計算方法及理論.全書內容包括:數值計算的誤差和基本原則、線性方程組的直接解法和迭代解法、非線性方程(組)的數值解法、矩陣特徵值問題的數值解法、插值法、函數逼近與曲線擬合、數值積分與數值微分和常微分方程初值問題的數值解法.本書既註重數值計算方法及理論,又註重數值計算方法的實用性,主要算法都給出了數值實例和Python程序實現,在書末以二維碼的形式呈現,感興趣的讀者可以下載源代碼進行學習.每章章末配備了適量的練習題和上機實驗題,書末附有部分習題的參考答案.
目錄大綱
目錄
前言
第1章 緒論
1.1 數值分析的研究對象、任務及特點1
1.1.1 科學計算、計算數學與數值分析1
1.1.2 數值分析的研究對象及特點2
1.2 數值計算的誤差3
1.2.1 誤差來源與分類3
1.2.2 誤差與有效數字4
1.2.3 誤差估計6
1.3 數值計算的若乾原則8
1.4 常用數值計算軟件簡介13
習題1 14
實驗1 15
第2章 線性方程組的直接解法16
2.1 高斯消元法17
2.2 追趕法20
2.3 直接三角分解法23
2.3.1 杜利特爾法23
2.3.2 列主元杜利特爾法30
*2.3.3 改進的平方根法32
習題2 33
實驗2 34
第3章 線性方程組的迭代解法36
3.1 迭代解法的基本概念36
3.1.1 向量範數和矩陣範數36
3.1.2 向量序列與矩陣序列的極限41
3.1.3 迭代解法的構造及其收斂性42
3.2 幾種常見的迭代解法44
3.2.1 雅可比迭代法44
3.2.2 高斯-賽德爾迭代法46
3.2.3 雅可比迭代法與高斯-賽德爾迭代法的收斂性47
3.3 鬆弛迭代解法及收斂性50
3.3.1 鬆弛迭代解法50
3.3.2 鬆弛迭代解法的收斂性52
*3.4 共軛梯度法與預處理共軛梯度法54
3.4.1 共軛梯度法54
3.4.2 預處理共軛梯度法61
習題3 64
實驗3 66
第4章 非線性方程(組)的數值解法68
4.1 非線性方程求根與二分法68
4.2 不動點迭代法及其收斂性73
4.2.1 不動點與不動點迭代法73
4.2.2 不動點迭代法的收斂性75
*4.2.3 迭代收斂的加速方法78
4.3 牛頓迭代法84
4.3.1 牛頓迭代法及其收斂性84
4.3.2 簡化牛頓迭代法與牛頓下山法91
4.3.3 重根情形94
*4.4 弦截法與拋物線法95
4.4.1 弦截法95
4.4.2 拋物線法97
4.5 非線性方程組的數值解法99
4.5.1 不動點迭代法100
4.5.2 非線性方程組牛頓迭代法102
習題4 103
實驗4 104
第5章 矩陣特徵值與特徵向量的計算106
5.1 特徵值估計107
5.2 冪法與反冪法110
5.2.1 冪法110
5.2.2 反冪法118
5.3 正交變換與約化矩陣122
5.3.1 豪斯霍爾德變換123
5.3.2 吉文斯變換126
5.3.3 約化一般矩陣128
*5.4 矩陣分解和QR算法133
5.4.1 QR算法135
5.4.2 帶原點平移的QR算法139
習題5 140
實驗5 143
第6章 插值法144
6.1 拉格朗日插值145
6.1.1 線性插值與拋物線插值145
6.1.2 拉格朗日插值多項式148
6.1.3 插值餘項與誤差估計149
6.2 牛頓插值152
6.2.1 差商及其性質152
6.2.2 牛頓插值多項式及其插值餘項153
6.3 埃爾米特插值156
6.3.1 埃爾米特插值多項式156
6.3.2 埃爾米特插值餘項158
6.4 分段低次插值160
6.4.1 龍格現象與分段線性插值160
6.4.2 分段三次埃爾米特插值163
6.5 三次樣條插值164
6.5.1 三次樣條函數165
6.5.2 三轉角方法166
6.5.3 三彎矩方法168
習題6 172
實驗6 174
第7章 函數逼近與曲線擬合175
7.1 最佳逼近175
7.1.1 最佳逼近與範數選取175
7.1.2 最佳平方逼近及其計算179
7.2 正交化方法182
7.2.1 正交多項式的基本性質和表徵方法182
7.2.2 常用正交多項式184
7.2.3 最佳平方逼近的正交化方法188
7.3 曲線擬合191
7.3.1 最小二乘擬合191
7.3.2 曲線擬合的線性化方法195
*7.4 傅里葉變換196
7.4.1 離散傅里葉變換197
7.4.2 快速傅里葉變換200
習題7 204
實驗7 205
第8章 數值積分與數值微分207
8.1 插值型求積公式208
8.1.1 數值求積公式的構造及代數精度208
8.1.2 梯形求積公式210
8.1.3 辛普森求積公式212
8.1.4 牛頓-科茨求積公式214
8.1.5 求積公式的數值穩定性216
8.2 復化求積公式217
8.2.1 復化梯形公式217
8.2.2 復化辛普森公式219
8.3 龍貝格求積公式222
8.3.1 變步長的梯形公式222
8.3.2 龍貝格求積公式224
*8.3.3 理查森外推加速法228
*8.4 高斯求積公式229
8.4.1 高斯點229
8.4.2 高斯-勒讓德公式231
8.5 數值微分233
8.5.1 插值型求導公式234
8.5.2 三次樣條函數求導236
8.5.3 數值微分的外推算法236
習題8 238
實驗8 239
第9章 常微分方程初值問題數值解法240
9.1 簡單的數值方法241
9.1.1 歐拉法241
9.1.2 後退歐拉法243
9.1.3 梯形公式246
9.1.4 改進歐拉法247
9.2 龍格-庫塔方法250
9.2.1 顯式龍格-庫塔方法的一般形式250
9.2.2 二階顯式龍格-庫塔方法251
9.2.3 三階與四階顯式龍格-庫塔方法253
*9.2.4 變步長的龍格-庫塔方法256
9.3 單步法的收斂性與穩定性257
9.3.1 收斂性與相容性257
9.3.2 絕對穩定性和絕對穩定域260
9.4 線性多步法264
9.4.1 基於數值積分的構造方法264
9.4.2 基於泰勒展開的構造方法267
9.4.3 預測-校正方法271
*9.5 線性多步法的收斂性和穩定性273
9.5.1 相容性與收斂性273
9.5.2 穩定性與絕對穩定性274
習題9 275
實驗9 276
參考文獻278
附錄 APython基本語法281
A.1 輸出函數(print)281
A.2 輸入函數(input).281
A.3 註釋282
A.4 變量282
A.5 基本數據類型283
A.6 類型轉換函數284
A.7 運算符285
A.8 語句289
A.9 容器292
附錄B 部分習題參考答案301
前言
第1章 緒論
1.1 數值分析的研究對象、任務及特點1
1.1.1 科學計算、計算數學與數值分析1
1.1.2 數值分析的研究對象及特點2
1.2 數值計算的誤差3
1.2.1 誤差來源與分類3
1.2.2 誤差與有效數字4
1.2.3 誤差估計6
1.3 數值計算的若乾原則8
1.4 常用數值計算軟件簡介13
習題1 14
實驗1 15
第2章 線性方程組的直接解法16
2.1 高斯消元法17
2.2 追趕法20
2.3 直接三角分解法23
2.3.1 杜利特爾法23
2.3.2 列主元杜利特爾法30
*2.3.3 改進的平方根法32
習題2 33
實驗2 34
第3章 線性方程組的迭代解法36
3.1 迭代解法的基本概念36
3.1.1 向量範數和矩陣範數36
3.1.2 向量序列與矩陣序列的極限41
3.1.3 迭代解法的構造及其收斂性42
3.2 幾種常見的迭代解法44
3.2.1 雅可比迭代法44
3.2.2 高斯-賽德爾迭代法46
3.2.3 雅可比迭代法與高斯-賽德爾迭代法的收斂性47
3.3 鬆弛迭代解法及收斂性50
3.3.1 鬆弛迭代解法50
3.3.2 鬆弛迭代解法的收斂性52
*3.4 共軛梯度法與預處理共軛梯度法54
3.4.1 共軛梯度法54
3.4.2 預處理共軛梯度法61
習題3 64
實驗3 66
第4章 非線性方程(組)的數值解法68
4.1 非線性方程求根與二分法68
4.2 不動點迭代法及其收斂性73
4.2.1 不動點與不動點迭代法73
4.2.2 不動點迭代法的收斂性75
*4.2.3 迭代收斂的加速方法78
4.3 牛頓迭代法84
4.3.1 牛頓迭代法及其收斂性84
4.3.2 簡化牛頓迭代法與牛頓下山法91
4.3.3 重根情形94
*4.4 弦截法與拋物線法95
4.4.1 弦截法95
4.4.2 拋物線法97
4.5 非線性方程組的數值解法99
4.5.1 不動點迭代法100
4.5.2 非線性方程組牛頓迭代法102
習題4 103
實驗4 104
第5章 矩陣特徵值與特徵向量的計算106
5.1 特徵值估計107
5.2 冪法與反冪法110
5.2.1 冪法110
5.2.2 反冪法118
5.3 正交變換與約化矩陣122
5.3.1 豪斯霍爾德變換123
5.3.2 吉文斯變換126
5.3.3 約化一般矩陣128
*5.4 矩陣分解和QR算法133
5.4.1 QR算法135
5.4.2 帶原點平移的QR算法139
習題5 140
實驗5 143
第6章 插值法144
6.1 拉格朗日插值145
6.1.1 線性插值與拋物線插值145
6.1.2 拉格朗日插值多項式148
6.1.3 插值餘項與誤差估計149
6.2 牛頓插值152
6.2.1 差商及其性質152
6.2.2 牛頓插值多項式及其插值餘項153
6.3 埃爾米特插值156
6.3.1 埃爾米特插值多項式156
6.3.2 埃爾米特插值餘項158
6.4 分段低次插值160
6.4.1 龍格現象與分段線性插值160
6.4.2 分段三次埃爾米特插值163
6.5 三次樣條插值164
6.5.1 三次樣條函數165
6.5.2 三轉角方法166
6.5.3 三彎矩方法168
習題6 172
實驗6 174
第7章 函數逼近與曲線擬合175
7.1 最佳逼近175
7.1.1 最佳逼近與範數選取175
7.1.2 最佳平方逼近及其計算179
7.2 正交化方法182
7.2.1 正交多項式的基本性質和表徵方法182
7.2.2 常用正交多項式184
7.2.3 最佳平方逼近的正交化方法188
7.3 曲線擬合191
7.3.1 最小二乘擬合191
7.3.2 曲線擬合的線性化方法195
*7.4 傅里葉變換196
7.4.1 離散傅里葉變換197
7.4.2 快速傅里葉變換200
習題7 204
實驗7 205
第8章 數值積分與數值微分207
8.1 插值型求積公式208
8.1.1 數值求積公式的構造及代數精度208
8.1.2 梯形求積公式210
8.1.3 辛普森求積公式212
8.1.4 牛頓-科茨求積公式214
8.1.5 求積公式的數值穩定性216
8.2 復化求積公式217
8.2.1 復化梯形公式217
8.2.2 復化辛普森公式219
8.3 龍貝格求積公式222
8.3.1 變步長的梯形公式222
8.3.2 龍貝格求積公式224
*8.3.3 理查森外推加速法228
*8.4 高斯求積公式229
8.4.1 高斯點229
8.4.2 高斯-勒讓德公式231
8.5 數值微分233
8.5.1 插值型求導公式234
8.5.2 三次樣條函數求導236
8.5.3 數值微分的外推算法236
習題8 238
實驗8 239
第9章 常微分方程初值問題數值解法240
9.1 簡單的數值方法241
9.1.1 歐拉法241
9.1.2 後退歐拉法243
9.1.3 梯形公式246
9.1.4 改進歐拉法247
9.2 龍格-庫塔方法250
9.2.1 顯式龍格-庫塔方法的一般形式250
9.2.2 二階顯式龍格-庫塔方法251
9.2.3 三階與四階顯式龍格-庫塔方法253
*9.2.4 變步長的龍格-庫塔方法256
9.3 單步法的收斂性與穩定性257
9.3.1 收斂性與相容性257
9.3.2 絕對穩定性和絕對穩定域260
9.4 線性多步法264
9.4.1 基於數值積分的構造方法264
9.4.2 基於泰勒展開的構造方法267
9.4.3 預測-校正方法271
*9.5 線性多步法的收斂性和穩定性273
9.5.1 相容性與收斂性273
9.5.2 穩定性與絕對穩定性274
習題9 275
實驗9 276
參考文獻278
附錄 APython基本語法281
A.1 輸出函數(print)281
A.2 輸入函數(input).281
A.3 註釋282
A.4 變量282
A.5 基本數據類型283
A.6 類型轉換函數284
A.7 運算符285
A.8 語句289
A.9 容器292
附錄B 部分習題參考答案301
