AI 時代 Math 元年 - 用 Python 全精通數學要素

✦✧✦ 圖解思維 + 零基礎 ✦✧✦

▶▶▶ 打破數學間不同單元的壁壘，融會完整的知識體系！

 

全書分為以下幾個部分：

基礎：從加減乘除四則運算開始，並在第1和2章深入介紹向量和矩陣的基本運算，以及在不同章節穿插線性代數基礎知識。

座標系：第5和6章介紹笛卡爾座標系，將幾何和代數相結合，強調代數式的視覺化和幾何體的參數化。

解析幾何：第7、8、9章介紹解析幾何內容，重點在於距離度量和橢圓。強調使用等距線和其他視覺化工具，以及橢圓在多個領域的應用。

函式：第10至14章圍繞函式展開。強調在學習函式時繪製函式線圖、使用視覺化工具觀察二元函式，以及不同函式的特性與應用。第14章解釋數列，強調累加、極限等是微積分的基礎。

微積分：第15至19章介紹微積分和最佳化問題。導數、偏導數、微分和積分提供了研究函式性質的量化工具。強調使用幾何圖解理解這些概念，以及微積分在最佳化問題中的應用。

機率統計：第20、21章為機率統計入門。強調代數部分與機率統計的關聯，介紹了二項樹和隨機過程，以及通過影像展示機率統計定義。

線性代數：最後四章介紹線性代數。第22章視覺化向量和向量運算。第23、24、25章以「雞兔同籠三部曲」為核心，通過虛構故事展示了線性方程組、向量空間、投影、最小二乘線性回歸、馬可夫過程和特徵值分解等內容。

 

【本書特點】

✪ 將一生中從小學到研究所的數學總整理！

✪ 機器學習基礎全部完整打好

✪ 將數學視為思想、工具、語言、體系、基石、藝術的角度進行學習

✪ 分為基礎、座標系、解析幾何、函式、微積分、機率統計、線性代數七大部分

✪ 不再應付考試，重新愛上數學

✪ 不再亂猜，寫機器學習程式碼時，每一行指令背後代表的數學基礎都清清楚楚

✪ 學數學本身，也學數學歷史，介紹史上幾個最偉大的數學家

 

※ 本書資源可至深智官網下載：deepwisdom.com.tw

姜偉生

　　姜偉生，博士FRM。勤奮的小鎮做題家，熱愛知識可視化和開源分享。自2022年8月開始，在GitHub上開源「鳶尾花書」學習資源，截至2023年9月，已經分享4000多頁PDF、4000多幅矢量圖、約2000個代碼文件，全球讀者數以萬計。

1 萬物皆數

1.1 數字和運算：人類思想的偉大飛躍

1.2 數字分類：從複數到自然數

1.3 加減：最基本的數學運算

1.4 向量：數字排成行、列

1.5 矩陣：數字排列成長方形

1.6 矩陣： 一組列向量，或一組行向量

1.7 矩陣形狀：每種形狀都有特殊性質和用途

1.8 矩陣加減：形狀相同，對應位置，批次加減

 

2 乘除

2.1 算術乘除：先乘除，後加減，括號內先算

2.2 向量乘法：純量乘法、向量內積、逐項積

2.3 矩陣乘法：最重要的線性代數運算規則

2.4 矩陣乘法第一角度

2.5 矩陣乘法第二角度

2.6 矩陣除法：計算反矩陣

 

3 幾何

3.1 幾何緣起：根植大地，求索星空

3.2 點動成線，線動成面，面動成體

3.3 角度和弧度

3.4 畢氏定理到三角函式

3.5 圓周率估算初賽：割圓術

 

4 代數

4.1 代數的前世今生：薪火相傳

4.2 集合：確定的一堆東西

4.3 從代數式到函式

4.4 巴斯卡三角：代數和幾何的完美合體

4.5 排列組合讓二項式係數更具意義

4.6 巴斯卡三角隱藏的數字規律

4.7 方程式組：求解雞兔同籠問題

 

第 2 篇 座標系

 

5 笛卡兒座標系

5.1 笛卡兒：我思故我在

5.2 座標系：代數視覺化，幾何參數化

5.3 圖解「雞兔同籠」問題

5.4 極座標：距離和夾角

5.5 參數方程式：引入一個參數

5.6 座標系必須是「橫平垂直的方格」？

 

6 三維座標系

6.1 三維直角座標系

6.2 空間平面：三元一次方程

6.3 空間直線：三元一次方程組

6.4 不等式：劃定區域

6.5 三大類不等式：約束條件

6.6 三維極座標

 

第 3 篇 解析幾何

 

7 距離

7.1 距離：未必是兩點間最短線段

7.2 歐氏距離：兩點間最短線段

7.3 點到直線的距離

7.4 等距線：換個角度看距離

7.5 距離間的量化關係

 

8 圓錐曲線

8.1 圓錐曲線外傳

8.2 圓錐曲線：對頂圓錐和截面相交

8.3 正圓：特殊的橢圓

8.4 橢圓：機器學習的多面手

8.5 旋轉橢圓：幾何變換的結果

8.6 拋物線：不止是函式

8.7 雙曲線：引力彈弓的軌跡

 

9 深入圓錐曲線

9.1 圓錐曲線：探索星辰大海

9.2 離心率：聯繫不同類型圓錐曲線

9.3 一組有趣的圓錐曲線

9.4 特殊橢圓：和給定矩形相切

9.5 超橢圓：和範數有關

9.6 雙曲函式：基於單位雙曲線

9.7 圓錐曲線的一般形式

 

第 4 篇 函式

 

10 函式

10.1 當代數式遇到座標系

10.2 一元函式： 一個引數

10.3 一元函式性質

10.4 二元函式：兩個引數

10.5 降維：二元函式切一刀得到一元函式

10.6 等高線：由函式值相等點連成

 

11 代數函式

11.1 初等函式：數學模型的基礎

11.2 一次函式： 一條斜線

11.3 二次函式： 一條拋物線

11.4 多項式函式：從疊加角度來看

11.5 冪函式：底數為引數

11.6 分段函式：不連續函式

 

12 超越函式

12.1 指數函式：指數為引數

12.2 對數函式：把連乘變成連加

12.3 高斯函式：高斯分佈之基礎

12.4 邏輯函式：在0 和1 之間設定值

12.5 三角函式：週期函式的代表

12.6 函式變換：平移、縮放、對稱

 

13 二元函式

13.1 二元一次函式：平面

13.2 正圓拋物面：等高線為正圓

13.3 橢圓拋物面：等高線為橢圓

13.4 雙曲拋物面：馬鞍面

13.5 山谷和山脊：無數極值點

13.6 錐面：正圓拋物面開方

13.7 絕對值函式：與超橢圓有關

13.8 邏輯函式：從一元到二元

13.9 高斯函式：機器學習的多面手

 

14 數列

14.1 芝諾悖論：阿基里斯追不上烏龜

14.2 數列分類

14.3 等差數列：相鄰兩項差相等

14.4 等比數列：相鄰兩項比值相等

14.5 費氏數列

14.6 累加：大寫西格瑪

14.7 數列極限：微積分的一塊基石

14.8 數列極限估算圓周率

 

第 5 篇 微積分

 

15 極限和導數

15.1 牛頓小傳

15.2 極限：研究微積分的重要數學工具

15.3 左極限、右極限

15.4 幾何角度看導數：切線斜率

15.5 導數也是函式

 

16 偏導數

16.1 幾何角度看偏導數

16.2 偏導也是函式

16.3 二階偏導：一階偏導函式的一階偏導

16.4 二元曲面的駐點： 一階偏導為0

 

17 微分

17.1 幾何角度看微分：線性近似

17.2 泰勒級數：多項式函式近似

17.3 多項式近似和誤差

17.4 二元泰勒展開：用多項式曲面近似

17.5 數值微分：估算一階導數

 

18 積分

18.1 萊布尼茲：既生瑜，何生亮

18.2 從小車等加速直線運動說起

18.3 一元函式積分

18.4 高斯函式積分

18.5 誤差函式：S 型函式的一種

18.6 二重積分：類似二重求和

18.7 「偏積分」：類似偏求和

18.8 估算圓周率：牛頓法

18.9 數值積分：黎曼求積

 

19 最佳化入門

19.1 最佳化問題：尋找山峰、山谷

19.2 建構最佳化問題

19.3 約束條件：限定搜尋區域

19.4 一元函式的極值點判定

19.5 二元函式的極值點判定

 

第 6 篇 機率統計

 

20 機率入門

20.1 機率簡史：出身賭場

20.2 二元樹：一生二、二生三

20.3 拋硬幣：正反面機率

20.4 聊聊機率：向上還是向下

20.5 一枚質地不均勻的硬幣

20.6 隨機中有規律

 

21 統計入門

21.1 統計的前世今生：強國知十三數

21.2 散點圖：當資料遇到座標系

21.3 平均值：集中程度

21.4 標準差：離散程度

21.5 協方差：聯合變化程度

21.6 線性相關係數：線性關係強弱

 

第 7 篇 線性代數

 

22 向量

22.1 向量：有大小、有方向

22.2 幾何角度看向量運算

22.3 向量簡化距離運算

22.4 向量內積與向量夾角

22.5 二維到三維

22.6 投影：影子的長度

 

23 雞兔同籠1

23.1 從雞兔同籠說起

23.2 「雞」向量與「兔」向量

23.3 那幾隻毛絨耳朵

23.4 「雞兔」套餐

23.5 套餐轉換：基底轉換

23.6 豬引發的投影問題

23.7 黃鼠狼驚魂夜：「雞飛兔脫」與超定方程式組

 

24 雞兔同籠2

24.1 雞兔數量的有趣關係

24.2 試試比例函式： y = ax

24.3 最小平方法

24.4 再試試一次函式： y = ax +b

24.5 再探黃鼠狼驚魂夜：超定方程式組

24.6 統計方法求解回歸參數

 

25 雞兔同籠3

25.1 雞兔互變奇妙夜

25.2 第一角度：「雞/ 兔→雞」和「雞/ 兔→兔」

25.3 第二角度：「雞→雞/ 兔」和「兔→雞/ 兔」

25.4 連續幾夜雞兔轉換

25.5 有向量的地方，就有幾何

25.6 彩蛋