量子計算與金融

余穎豐副教授，首都經濟貿易大學金融科技研究中心主任、金融學院院長助理，現任中國技術經濟學會金融科技專業委員會理事、金融科技教育與研究五十人論壇青年會員，河南省南陽市電商金融特聘專家、南陽市委黨校特聘教授。出版《基本無害的量化金融學》《企業異質性理論研究》等專著三部，在《世界經濟》《Pattern Recognition Letters》等經濟學、人工智能期刊發表多篇文章，曾主持參與多項國家、省部級課題。曾在門頭溝區發改委掛職副主任。

目 錄
第1章 量子技術與金融服務業 1
1.1 初識量子技術 1
1.2 量子信息學基礎 2
1.2.1 量子信息學的主要領域 2
1.2.2 量子信息與經典信息的區別 4
1.2.3 量子世界的數學語言 9
1.2.4 量子世界的基本設定 11
1.2.5 量子糾纏與貝爾不等式 15
1.3 量子技術所面臨的挑戰及其影響 16
1.3.1 量子技術發展面臨的挑戰 16
1.3.2 量子技術發展的主要影響 21
1.3.3 金融促進量子技術發展的可行途徑 24
1.4 量子技術對金融服務業的影響 27
1.4.1 量子技術在金融服務業中的潛在應用 27
1.4.2 量子技術給金融服務業帶來的挑戰 31
第2章 金融學與量子力學的淵源 36
2.1 金融學與量子力學的聯系 36
2.1.1 當代金融學發展概述 36
2.1.2 量子力學對金融學發展有潛移默化的影響 37
2.2 金融數學建模基礎 38
2.2.1 基礎金融問題 38
2.2.2 從最簡單的債券價格說起 39
2.2.3 衍生品知識 40
2.3 金融隨機分析基礎 41
2.3.1 布朗運動與擴散過程 41
2.3.2 常見的布朗運動 42
2.3.3 伊藤公式 42
2.3.4 伊藤積分 43
2.3.5 Ornstein-Uhlenbeck過程 45
2.4 金融資產價格與收益率建模 49
2.4.1 隨機利率模型 49
2.4.2 股票價格與股票收益率的建模 50
2.5 從投資組合與自融資假定到BSM的PDE形式 52
2.5.1 投資組合與自融資假定 53
2.5.2 BSM公式的偏微分方程形式 54
2.5.3 全面理解BSM偏微分方程 55
2.6 偏微分方程與Fokker-Planck方程 56
2.6.1 Fokker-Planck方程 56
2.6.2 Fokker-Planck方程與標準維納過程的關系 56
2.6.3 Ornstein-Uhlenbeck過程的Fokker-Planck方程形式 57
2.6.4 Fokker-Planck方程的概率流量 57
2.6.5 利用Fokker-Planck方程研究狀態受限問題 58
2.7 Feynman-Kac公式與資產定價 63
2.7.1 Feynman-Kac方程從概率視角到偏微分方程視角 63
2.7.2 以標準維納過程為例 64
2.7.3 與BSM的PDE形式聯系 65
2.7.4 對隨時間變化的利率進行定價建模 66
2.7.5 對與路徑相關的期權進行定價建模 66
2.8 Fokker-Planck方程和Feynman-Kac公式 67
2.8.1 兩個方程的基本設定 67
2.8.2 伴隨算子 68
第3章 量子計算的核心內容 70
3.1 從有限維度到無窮維度 70
3.1.1 有限維度與線性代數 70
3.1.2 函數空間的內積和範數 72
3.1.3 希爾伯特空間 73
3.2 狄拉克符號與量子計算 75
3.2.1 狄拉克符號與線性代數 75
3.2.2 常用量子門和量子態 83
3.3 量子系統基礎 85
3.3.1 從單量子比特到多量子比特 85
3.3.2 Bloch球模型 87
3.3.3 Bloch球與常用單量子比特門 89
3.3.4 分解與糾纏 92
3.3.5 密度算子 93
3.3.6 CNOT門及其關鍵應用 95
3.3.7 再論泡利算子 102
3.3.8 量子測量 105
3.4 多量子比特系統 108
3.4.1 多量子比特情形的H門 108
3.4.2 量子並行與H門 110
3.4.3 受控操作Cn(U) 112
3.4.4 符號不同寫法的討論 112
3.5 Deutsch算法 113
3.5.1 Deutsch算法的設定背景 113
3.5.2 初識諭示Uf 114
3.5.3 y∈{0,1}和x∈{0,1}的情形 114
3.5.4 任意輸入的情況 115
3.5.5 Deutsch算法的量子電路圖分析 116
3.6 Deutsch-Jozsa算法 119
3.6.1 算法介紹 119
3.6.2 知識的擴展：隱藏子群問題 120
第4章 傅裏葉變換在金融與量子計算中的應用 122
4.1 傅裏葉變換在金融資產定價中的應用 122
4.1.1 傅裏葉變換 122
4.1.2 傅裏葉變換與熱傳導方程 125
4.1.3 傅裏葉變換在BSM求解中的作用 126
4.2 傅裏葉級數與離散傅裏葉變換 130
4.2.1 傅裏葉級數 130
4.2.2 離散傅裏葉變換 131
4.3 量子傅裏葉變換 132
4.3.1 狄拉克符號下的離散傅裏葉變換 132
4.3.2 量子傅裏葉變換的電路設計 135
第5章 量子力學背後的數學與金融應用 140
5.1 概率波函數與量子世界的不確定性 140
5.2 概率守恒與量子力學的關系 140
5.2.1 薛定諤方程 140
5.2.2 時變薛定諤方程 143
5.2.3 定態薛定諤方程 145
5.3 狄拉克符號下的量子力學 147
5.3.1 離散譜與連續譜 148
5.3.2 量子力學視角下的三種主要表象 148
5.3.3 狄拉克符號下的薛定諤方程 152
5.3.4 量子力學的動態效應研究 153
5.4 不確定性原理的數學解釋 154
5.4.1 從傅裏葉變換的基本性質說起 154
5.4.2 位置與動量彼此間不確定的解釋 155
5.5 路徑積分與Feynman-Kac公式 156
5.5.1 用通俗的語言理解費曼的路徑積分 157
5.5.2 路徑積分入門與傳播子 157
5.5.3 維納過程視角下的路徑積分與Feynman-Kac公式 162
第6章 數論與抽象代數基礎 163
6.1 數論基礎知識 163
6.1.1 模的含義 163
6.1.2 歐拉函數與歐拉定理 164
6.1.3 中國剩余定理 164
6.2 初識抽象代數 165
6.2.1 群論 165
6.2.2 環論基礎 172
6.2.3 一般線性群 176
6.2.4 李群 177
6.3 抽象代數與群論應用 178
6.3.1 剩余類 178
6.3.2 模n剩余類環 178
6.3.3 模n加法群與模n乘法群 179
6.3.4 N次單位根群?N 182
6.3.5 群 184
6.4 綜合應用 185
6.4.1 對稱群的綜合舉例 185
6.4.2 非對稱加密中的RSA算法 185
6.4.3 離散對數問題 186
6.4.4 隱藏子群問題 187
第7章 群論高級知識與綜合應用 189
7.1 群作用與群表示等高級知識 189
7.1.1 群作用 189
7.1.2 群代數 190
7.1.3 群表示 191
7.1.4 對偶群 195
7.2 群理論的高級綜合應用 196
7.2.1 以對稱群為例 196
7.2.2 群理論視角下的傅裏葉變換 200
7.2.3 Pauli算子群與穩定子群 204
7.2.4 群作用與量子計算 206
第8章 常見量子計算算法 209
8.1 相位估計 209
8.1.1 算法原理 209
8.1.2 細節討論 210
8.2 求階問題 210
8.2.1 從簡單問題說起 210
8.2.2 重回求階問題 211
8.3 因數分解 214
8.3.1 因數分解與求階問題的關系 214
8.3.2 Shor因數分解算法 215
8.4 Simon算法 215
8.4.1 問題的基本陳述和說明 215
8.4.2 群論視角的分析 216
8.4.3 核心算法 216
8.5 周期查找 217
8.5.1 周期查找問題與Simon問題的關聯 218
8.5.2 核心算法 218
8.6 離散對數問題 219
8.6.1 背景介紹 219
8.6.2 核心算法 220
8.7 廣義阿貝爾隱藏子群算法 220
8.7.1 隱藏子群問題與基礎案例 220
8.7.2 廣義阿貝爾隱藏子群算法原理 222
附錄A 225
A.1 Delta函數 225
A.1.1 應用舉例 225
A.1.2 Kronecker Delta 226
A.2 關於 的證明 226
附錄B 量子力學版本Fokker-Planck方程的推導 228
附錄C 重要結論 230
參考文獻 231